科学家流形——现代物理学的舞台，研究宇宙的基本工具( 二 ) 科学家

在流形上的任何一点都有一个平滑的坐标系，我们就可以定义曲线和函数等对象。例如，流形上的函数就像一个'热图' 。由于在任何一点上都有一个坐标系，有几个基本的数学概念现在已经得到了很好的定义。比如说：

我们可以通过验证函数是否可微来确定流形上的函数是否光滑。
我们还可以定义 \"切（线）空间\" 。例如，在球体图中，切线空间是附着在表面一侧的矩形。它代表了表面上的蚂蚁会经历的空间。切线空间是广义相对论和经典力学的现代表述中使用的基本构件，用于理解物体如何从流形中的一点自然流向另一点。

此外，物理学中还有一些对称结构，它们本身也是流形。这些被称为李群。李群背后的概念实际上是相当简单的。李群是描述平滑变换的数学对象。例如，一个物体的旋转的对称群是一个李群，因为旋转是一个 \"平滑 \"的变换。所谓平滑，是指我可以将一个物体旋转一丁点。另一方面，像反射这样的变换并没有与之相关的平滑性属性。因此，你不能 \"只反射一丁点 \" 。
现在，李群是流形的原因要更微妙一些。想一想旋转一个物体，我可以旋转一个给定的度数。度数是在0到360之间。度数也是我需要的确切信息量，可以确定一个圆上的特定位置。但是圆本身也是一个流形！这个流形是什么？
这种将对称群与特定形状相识别的做法是使李群变得独特的原因。因此，在研究粒子物理学的对称结构时，它们是最重要的。一种特定类型的李群，称为半单李群（semi-simple Lie groups）。事实证明，我们可以将所有有限的半单李群分成四个无限的族，分别表示为An、Bn、Cn、Dn ，其中n∈N 。
李群是一组连续变换，它平滑地依赖于n个给定的参数。因为它需要n个参数来定义这组变换，我们也可以把它解释为n维流形。
流形的分类数学家们喜欢对不同的数学对象进行分类。分类很有帮助，因为它可以帮助我们确定哪些形状或流形是真正不同的。我们可以通过流形的一些拓扑学属性来进行分类。拓扑属性是一种类型的属性，它只是一个给定形状的 \"固有 \"属性。我将在下面概述它们：

连通性是指我们可以从流形的任何地方到任何其他点构建一条平滑的路径的属性。因此，举例来说，一个球是连通的，但是一个集合的点在两个球体上的流形就不是连通的了。
单连通性与连通性有着微妙的不同。它来自同伦群的概念。如果一个空间表面的任何环路都可以连续变形为一个点，那么这个空间就是 \"单连通的\" 。非单连通的一个例子是实心环。
紧致性是指我们可以用有限的子集覆盖一个空间。通俗地说，这意味着该物体不是 \"无限的\" ，就像普通的开放空间。例如，一个球体是紧凑的。另一方面，一条无限的线，它本身就是一个流形，不是紧致的。这个条件相当于说，如果我们在R^3中嵌入空间，子集是封闭和有界的。所以，举例来说， R上的二次曲线不是一个紧致流形，因为它不是有界的。

我希望这篇文章能很好地介绍什么是流形，以及流形在现代物理学中的应用。