度量空间（距离空间）
度量空间出现在1906年莫里斯的博士论文t中 。 度量空间是可以测量点之间距离的集合 ， 从某种意义上说 ， 度量空间所携带的几何信息比拓扑空间所能描述的要多得多 。 公理越强 ， 定理越强 ， 但例子也越少 。 然而 ， 度量空间的公理允许大量和各种各样的例子和定理 。 特别地 ， 完全度量空间 ， 即那些直观上没有孔的度量空间 ， 有两个很强的定理 。 一个是巴拿赫不动点定理 ， 另一个是贝瑞定理（Baire’s Theorem） 。 前者可用于求解微分方程 ， 而后者对完备度量空间和连续函数的结构有深刻的影响 。
赋范空间和巴拿赫空间
与向量相关的一个非常基本的属性是它的范数 ， 也就是它的长度 ， 其抽象形式是由赋范空间的公理给出的 。 范数的存在允许我们定义任意两个向量之间的距离 ， 通过所谓的诱导度量 ， 我们得到一个度量空间 ， 以及它所诱导的拓扑结构 。 因此 ， 任何赋范空间立即包含代数和几何 。 巴拿赫空间是一个赋范空间 ， 作为度量空间 ， 它是完备的 。 代数和几何之间的相互作用是特别强大的 ， 允许非常强的结果 。
拓扑群
巴拿赫空间是代数和几何的融合 。 类似地 ， 拓扑群是代数和拓扑之间的融合 。 与巴拿赫空间不同的是 ， 代数结构是群的代数结构 ， 而几何从度规角度简化为拓扑 。 因此 ， 一个拓扑群是一个比巴拿赫空间弱得多的结构 ， 然而代数和拓扑之间的相互作用仍然产生了非常丰富和有趣的理论 。
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