彭罗斯指出 ， 平行的零测地线离开被困表面都必须会聚并形成一个焦点 。 他还表明 ， 对于从被困表面发出的光线 ， 继续追踪这些焦点以外的空间和时间的进程是没有意义的 。 换句话说 ， 空间和时间在焦点处结束 。 零测地线终止于黑洞的这些焦点 ， 我们称之为测地线不完备 。 因为它们是我们用来映射时间和空间的网格 ， 所以测地线不完备意味着空间和时间在终点处结束 。
尝试一个类比 ， 绘制地球表面的测地线是经纬度 ， 经线的焦点是北极和南极 ， 沿着经线是到达北极、南极的最短距离 。 但是 ， 到达北极之后 ， 想要再到达另一个地方就不是最短距离了 。 例如 ， 我们想从北京到北极 ， 那么沿着经线走是最短的；我们想从北京到上海 ， 如果先到北极再到上海已经不是最短路线了 ， 因为测地线已经在北极就结束了 。 同样 ， 在黑洞中 ， 焦点处就是时间和空间结束的地方 。
所以 ， 测地线的不完备性是很奇怪的 。 在彭罗斯之前 ， 人们普遍认为 ， 测地线可以无限期地追溯到以往和未来 ， 所有的时空都应该是一个光滑的、弯曲的结构 ， 在任何地方都可以被清晰地定义 。 然而 ， 彭罗斯指出空间和时间可能存在漏洞 ， 这些漏洞往往与无限的时空曲率（奇点）有关 。 彭罗斯实际上并没有说明黑洞中会形成哪种类型的奇点 ， 只是说奇点是不可避免的 。 在史瓦西黑洞中 ， 时间终止于中心点状奇点；在克尔黑洞中 ， 时间在环奇点处停止 。
广泛的应用有了罗杰·彭罗斯的发现 ， 人们不得不更加认真地对待黑洞及其内部的奇点 。 但奇点定理的真正用途远不止于黑洞 。 就在彭罗斯发表他的论文之后 ， 一个年轻的研究生受到启发 ， 以一种非常不同的方式应用了奇点定理 ， 那个学生就是史蒂芬·霍金 。
霍金表明 ， 彭罗斯关于黑洞的论点也适用于宇宙 。 在不断膨胀的宇宙中 ， 若要追溯宇宙的起源 ， 测地线就必须真正地相遇 ， 从而形成一个奇点 。 这就意味着它们必须终止时间本身 ， 而时间本身无法追溯到那个点以外 ， 这就意味着时间实际上是从大爆炸开始的 。 霍金和彭罗斯进一步发展了这些想法 ， 并在1970年发表了一个明确的证明 。 我们现在把测地线不完备性的组合证明称为彭罗斯-霍金奇点定理 。
当我们在理论中看到无穷大和奇点时 ， 我们应该持怀疑态度 。 彭罗斯告诉我们 ， 在广义相对论中奇点是不可避免的 ， 因此广义相对论应该在奇点处崩溃 。 解决方案是广义相对论和量子力学的结合——量子引力理论 ， 量子力学和相对论都只是它的近似值 。 这样的理论可以告诉我们 ， 当测地线接近并合并时真正会发生什么 ， 甚至有希望告诉我们测地线、空间和时间到底是什么 。 罗斯奇点定理是使我们走上这个尚未发现的伟大理论之路的重要因素 。
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