后来 ， 有两位科学家提出了一个更现实的方程 。 克劳德-路易斯·纳维尔（法国工程师和物理学家）和乔治·加布里埃尔·斯托克斯（爱尔兰数学家和物理学家） 。 纳维尔在1822年推导出一套粘性流体流动的偏微分方程组 。 20年后 ， 斯托克斯开始发表有关这一主题的文章 。 流体流动的最终模型现在被称为纳维尔-斯托克斯方程（Navier-Stokes方程）（通常使用复数 ， 因为这个方程是用矢量表示的 ， 所以它有几个分量） 。
这个方程是如此精确 ， 以至于现在工程师们经常使用计算机直接计算流体模型 ， 而不是在风洞中进行物理测试 。 这项技术被称为计算流体力学（CFD） ， 现在已成为任何涉及流体流动问题的标准技术：航天飞机的空气动力学、一级方程式赛车和家庭汽车的设计、人体血液循环等 。
有两种方法可以观察流体的几何形状 。 一种是跟踪单个微小流体颗粒的运动 ， 看看它们去了哪里 。 另一种方法是关注这些粒子的速度：它们在任何时刻移动的速度和方向 。 这两者是密切相关的 ， 但这种关系很难理清 ， 除非用数值近似 。 欧拉 ， 纳维尔和斯托克斯的一个伟大的见解是：用速度来表示 。 流体的流动最好用速度场来理解 。
速度场是一种数学描述 ， 它描述的是速度在空间和时间中的变化 。 欧拉 ， 纳维叶和斯托克斯写下了描述速度场的方程 。 然后就可以计算出流体的实际流动模式 ， 至少可以得到一个很好的近似结果 。
纳维尔-斯托克斯方程是这样的：
其中ρ是流体的密度 ， v是流体的速度场 ， p是压力 ， T是了应力 ， f是作用于整个区域的力（而不仅仅是作用于表面） 。 点是向量的运算 ， 而?是偏导数的表达式 ， 即
这个方程是从基础物理学推导出来的 。 与波动方程一样 ， 关键的第一步是应用牛顿第二运动定律 ， 将流体粒子的运动与作用在其上的力联系起来 。 主要的力是弹性应力 ， 它有两个主要的组成部分：由流体黏度引起的摩擦力 ， 以及正（压缩）)或负（拉升）压力的影响 。 还有来自流体粒子自身加速的体积力 。 将所有这些信息结合起来 ， 就得到了纳维尔-斯托克斯方程 ， 它可以被看作是在这种特殊情况下动量守恒定律的陈述 。 基础物理是无可挑剔的 ， 模型是足够现实的 。 像所有经典数学物理的传统方程一样 ， 它是一个连续模型：它假设流体是无限可分的 。
这（连续模型）也许是纳维尔-斯托克斯方程与现实脱节的主要地方 ， 但只有当运动涉及到单个分子规模的快速变化时 ， 才会出现问题 。 这种小尺度运动在一个至关重要的情况下非常重要：湍流 。 如果把水龙头开到最大 ， 会看到一股冒着泡沫的水流 。 类似的泡沫流也发生在河流的急流中 。 这种效应被称为紊流 。
求解纳维尔-斯托克斯方程很难 。 在（超级）计算机问世之前 ， 数学家们只能简化和近似 。 流体流动的模式一直是数学研究的热门领域 ， 但该领域中最大和最基本的问题之一仍然没有得到回答：纳维尔-斯托克斯方程的解确实存在 ， 是否有数学上的保证？能解决这个问题的人将获得100万美元的奖金 ， 这是克莱研究所七个千禧奖问题之一 。 在二维流中答案是肯定的 ， 但没有人知道三维流的答案 。
尽管如此 ， 纳维尔-斯托克斯方程提供了一个有用的湍流模型 。 湍流的主要问题是实际的：几乎不可能数值求解纳维尔-斯托克斯方程 ， 因为计算机无法处理无限复杂的计算 。 偏微分方程的数值求解是 ， 将空间和时间划分为离散区域 。 为了捕捉湍流的运 ， 我们需要一个非常精细的计算网格 。 因此 ， 工程师们经常使用湍流的统计模型 。
纳维尔-斯托克斯方程彻底改变了现代交通 。 最大的影响是在飞机的设计上 ， 因为飞机不仅要高效飞行 ， 而且还要稳定可靠地飞行 。 船的设计也受益于这个方程 ， 因为水是流体 。 即使是普通的家用汽车也根据空气动力学原理进行设计 ， 这不仅是因为它使汽车看起来美观 ， 还因为它能有效地降低阻力 ， 从而节省燃料 。
计算流体力学（CFD）
在早期的飞机设计中 ， 先驱们通过粗略的计算、物理直觉和反复试验将飞机组装在一起 。 很快 ， 飞机的设计必须基于一种更合理、更可靠的方法 。 空气动力学诞生了 ， 它的基本数学工具是流体流动方程 。 纳维尔-斯托克斯方程方程在空气动力学理论发展的过程中占据了中心位置 。
然而 ， 在没有现代计算机的情况下 ， 解这些方程几乎是不可能的 。 因此 ， 工程师们求助于物理模拟：将飞机模型放置在风洞中 。 如今 ， 大多数F1车队都使用风洞来测试他们的赛车 。 现在计算机的能力已很强大 ， 大多数车队都使用计算流体力学（CFD） 。 例如 ， 下图显示了一辆汽车的空气流动的CFD计算 。
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