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BC的同侧|关于四点共圆的几个命题以及反证法的运用

『易坊好文馆摘要_BC的同侧|关于四点共圆的几个命题以及反证法的运用』文章插图 关于四点共圆的几个命题以及反证法的运用 命题1 如图1,O为△ABC内一点,若OA=OB=OC,则∠BOC=2∠BAD. 文章插图 这是一个真命题, 我们可以延长AO,利用三角形外角的性质...


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BC的同侧|关于四点共圆的几个命题以及反证法的运用
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关于四点共圆的几个命题以及反证法的运用
命题1
如图1,O为△ABC内一点,若OA=OB=OC,则∠BOC=2∠BAD.
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这是一个真命题,
我们可以延长AO,利用三角形外角的性质以及“等边对等角”给出证明.
其实,只要点O,A在BC的同侧,都可以证明∠BOC=2∠BAD.解题思路我们并不陌生,与证明圆周角定理完全一样.
命题2
如图2,O为△ABC内一点,如果OB=OC,且∠BOC=2∠BAC,那么OA=OB.
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这个命题可以看作是命题1的逆命题,它也是真命题.
用反证法证明如下:
如答图1, 延长AO,
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则∠1=∠2+∠3,
假设OA<OB,
则∠3<∠2.
∴∠2+∠3<2∠2.
∴∠1<2∠2.
同理,∠4<2∠5.
∴∠1+∠4<2(∠2+∠5).
即∠BOC<2∠BAC.
这个结论与已知条件矛盾,
∴原假设不成立.
同样的道理,如果假设OA>OB,也可以证明这个假设不成立.
∴OA=OB.
拓展
与命题1类似,只要点O,A在BC的同侧,结论都成立.
思考
如果不用反证法,可以证明吗?
答案是肯定的,但是比较繁,详见附录1.
命题3
如图3,点A,D在BC的同侧,若∠BAC=∠BDC,则A,D,B,C四点共圆.
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与命题2一样,我们照样用反证法证明这个命题是真命题.
如答图2,过A,B,C三点作⊙O.假设点D在圆外,CD与⊙O交于点E,连接BE.
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依据圆周角定理的推论“同弧所对的圆周角相等”,得∠BEC=∠A.
依据三角形外角的性质,得∠BDC<∠BEC,
所以∠BDC<∠BAC.
这与已知条件矛盾,假设不成立.
同样的道理,点D也不能在⊙O内.
所以点D在⊙O上,即A,D,B,C四点共圆.
拓展
能够不用反证法吗?
BC的同侧|关于四点共圆的几个命题以及反证法的运用】答案也是肯定的,证法详见附录2.
附录1
不用反证法,证明命题2
如图4,O为△ABC内一点,若OB=OC,且∠BOC=2∠BAC,求证OA=OB.
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证明
过程有点繁,下面我们把它分为六大步.
第一步,先证∠BAC=∠ABO+∠ACO.
如答图3,延长AO,
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由三角形外角的性质,得
∠BOC=∠BAC+∠ABO+∠ACO.
∵∠BOC=2∠BAC.
∴∠BAC=∠ABO+∠ACO.
第二步,如答图4,分别作点O关于AB,AC的对称点M,N,然后证明∠OBM+∠OCN=∠BOC.
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由轴对称性,得∠OBM+∠OCN
=2(∠OBA+∠OCA)
=2∠BAC=∠BOC.
第三步,进一步证MB∥NC.
如答图5,在平行线一章,这是一道很经典的题目,故省略具体步骤.
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第四步,如答图6,在答图4的基础上,连接MN,可以证明MN=BC.
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∵MB=OB=OC=NC,
又MB∥NC(已证),
∴四边形MBCN是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
∴MN=BC.
第五步,如答图6,可以证明△AMN≌△OBC.
由轴对称,得AM=AO=AN,且∠MAN=2∠BAC=∠BOC.
依“等边对等角”以及三角形的内角和定理,得
∠AMN=∠ANM=∠OBC=OCB.
∴△AMN≌△OBC.
第六步,最后证明OB=OA.
∵△AMN≌△OBC,
∴AM=OB.
又AM=AO,
∴OA=OB.
评析
据说,这个命题有很多种证法,但都比较繁,还是用反证法好.
亲爱的朋友,你有好的证法吗?
附录二
不用反证法证明命题3
如图5,点A,D在BC的同侧,若∠BAC=∠BDC,求证A,D,B,C四点共圆.
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