热力学从零推导出理想气体定律，一项浩大的工程，涉及数理化三个领域( 二 ) fx

后面我会详细说明为什么需要海森堡不确定性原理。
什么是理想气体？
理想气体是一种由均匀的粒子组成的气体，其中的粒子不相互作用，不占用空间。虽然现实中没有气体具有这些特性，但许多气体由很少相互作用的粒子组成，所占空间可以忽略不计。
理想气体的多重性
因为我们想用统计力学来计算熵，所以我们需要计算理想气体的多重性。
我们将先看一个粒子，以便对我们必须考虑的多重性有一个立足点。然后，我们将转到一个多粒子系统。多重性表示在某些约束条件下可以更改系统的方式的数量。在理想气体的情况下，我们看的是，在给定压强，温度，粒子数量和体积的情况下，选择粒子位置和动量的方法的数量。
我们将首先考虑一个粒子的情况，以在我们必须考虑的多重性中找到一个立足点。然后，我们将研究一个多粒子系统。
一个粒子让我们考虑一些热力学变量，以及我们如何利用它们来帮助我们推导。

粒子的数量。当我们确定使用一个粒子时，粒子数为1 。
体积。由于我们的模型中的粒子只能在给定的体积内移动，体积限制了可能位置的总数。
温度。温度是对气体的平均动能的测量。由于通过熵或能量均分定理转换为内能是很容易的，所以我们不需要它。
内能。所有粒子的动能之和必须等于内能。我们可以用动能来寻找动量，所以内能限制了可能的动量的总数。

寻找可能的位置数
【热力学|从零推导出理想气体定律，一项浩大的工程，涉及数理化三个领域】我们无法得到所有可能位置的确切数目，因为空间是连续的（暂时这么认为）。可以说，如果有两倍的体积，就有两倍的位置数量，所以我们可以说：

一个粒子的多重性与体积成正比。

寻找可能的动量的数量
和位置一样，我们将无法得到所有可能动量的确切数目。推导的过程会有点奇怪。正如我们之前所说的，每个粒子的所有动能之和必须等于内能，这就有了：
尽管这看起来很奇怪，因为这个方程描述了一个球体的表面。可能的动量的数量与半径为2mU平方根的球体的表面积成正比。
为什么球体会出现在推导过程中？
如果我们看一下动能的方程式，它只包含动量的大小，所以任何具有这个大小的动量都是可能的。给定大小的所有可能向量的集合就是球面的形式定义，所以这就是球出现的原因。
能量等分定理
系统没有理由给予动能的一个分量比其他分量更多的能量。因此，我们假设系统的能量均匀地分布在动能的所有组成部分中。这个假设就是等分定理。虽然这个定理在量子效应显著时并不成立，但在经典力学中却成立。我提到等分定理是为了让我们可以假设系统可以以相同的概率成为球体上的任何一点。
基本计数定理
基本计数定理指出：

如果一个事件有m个结果，一个独立事件有n个结果，那么组合起来的事件就有mn个可能的结果。

例如，如果你掷一个骰子，有六个可能的结果（{1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6）。如果你掷硬币，有两种可能的结果（{H ， T）。如果你掷骰子和抛硬币，就有12种可能的结果（{H1 H2 H3 H4 H5 H6 T1 T2 T3 T4 T5 T6）。
在我们的例子中，有m个可能的位置和n个可能的动量，所以有mn个可能的微观状态。由于m与体积成正比， n与球体的表面积成正比，所以多重性与以下情况成正比：
去掉单位如果我问你某件事情的发生会有多少种可能的结果，你可以说是二或二百万，但你不能说是二百万米。任何事物的数量后面都不能有单位，这就给我们带来了一个问题，因为我们的乘数有焦耳和秒（都是三次方）。为了解决这个问题，为了消去这个，我们可以除以某个常数，其单位是焦耳和秒。 h（普朗克常数）恰好满足条件，因为海森堡测不准原理：
考虑空间所有的三个维度，我们最终会得到：
也就是体积乘以动量的立方，所以你可以想象把动量位置空间分割成大小为h^3的“立方体” 。
回到多重性问题上
熵的精确值对这个问题并不重要，因为我们只关注熵的差异。在这一点上，我们现在有以下关于一个单数粒子的多重性的表达式。