热力学从零推导出理想气体定律，一项浩大的工程，涉及数理化三个领域( 三 ) fx

关于单位的问题
这个表达式没有正确的单位。 2mU是动量的平方，而我们需要动量的三次方。我们可以通过乘以一个常数或取根号2mU的三次方。一旦我们处理大量的粒子，我们会选择第二个方法。
多个粒子我们可以对任何独立的量使用基本计数定理。
常量
由于常数是独立于系统的，我们将用N个粒子中的每一个的倍率除以h^3 ，剩下的就是：
位置
正如我在前面对理想气体的定义中所说，粒子不占用空间，也不相互作用。因此，每个粒子的位置是独立于任何其他粒子的。由于我们有独立的位置，我们将把每个粒子的多重性乘以V ，剩下的就是：
动量
不同于常数和位置，动量是相互依赖的。考虑每个粒子的动能相对于总能量的关系。
记住，我们要求的是在给定的能量下，分配动量的可能方式的数量。如果我们把能量改为X焦耳，那么我们就在寻找分配动量的可能方式的数量，以便使总能量为X焦耳。出于这个原因，我们在这一部分的分析中认为能量是恒定的。
接下来的部分听起来比实际情况更糟糕。如果我们看一下动量项，有一堆平方值加起来等于一个常数。两个平方值加在一起得到一个常数，是一个圆。三个平方值，是一个球体。但这里超过三个平方值，所以是一个超球体。为了找到动量的多重性，我们需要求一个n维的超球体的表面积。不过，不要被吓到。数学使我们能够让我们讨论看不见的事物。
超球体
有很多方法可以求一个n维球体的表面积。在这个推导中，我不做直接积分，那样会比较麻烦。相反，我们将利用n维球体的属性：

我们可以把一个n维球面表示为半径的平方和。
任何n维物体的体积都与它的半径的n次方成正比。

表面积是体积相对于半径的导数。

这个比例关系很有用。你需要用长度来表示n维体积，体积应该随着半径的增加而增加。表面积和体积之间的关系也是有用的。想象一下，在一个球体上涂上数千层颜料。每一层都能在保持球的球形的同时增加球的体积。如果你不断添加图层，你会得到一个和地球一样大的球体。如果你想要一个2D的可视化示例，请看下面图像：
如果我们把最后两个特点结合起来，我们最终会得到：
有了这个结果，我们可以看到，我们只需要求出V_n就可以得到我们的答案。
求解思路我们要想出两个不同的表达方式，这两个表达方式相互之间是相等的。其中一种方式将包含V_n ，另一种则不包含。二次方之和和n维体积微分元素（dVn）都需要在这些表达式中至少有一个出现。
然后，我们设这两个表达式相等，并求解V_n 。
其中一个表达式中的平方之和
我们想要尽可能多的平方相加，所以我们要寻找一个函数f和一个运算★（加法、减法、乘法、除法或任何二级运算），满足f（a+b）=f（a）★f（b）。如果我们找到这样一个函数和运算，那么：
这个方程可以让我们用f(r^2)和f(x^2)运算，这让计算更容易。
如果我们让★为加法， f(x)=x ，那么我们最终会在超球坐标中进行积分，这是我想避免的。除了让f(x)=x之外，我看不出有什么其他方法可以满足上述对f的限制，而★是加法，所以让我们试试其他方法。减法行不通，因为f(a+b)=f(b+a) ，这意味着f(a)★f(b)=f(b)★f(a) 。在数学术语中， ★必须是可交换的。由于减法不是可交换的，所以我们不能用它。除法也是如此。乘法是我们剩下的唯一基本运算。在这种情况下，我们需要一些满足f(a+b)=f(a)f(b)的函数。
不绕弯子了，我们把f(x)当作一个指数函数。由于我们使用的是微积分，我们希望以e或1/e为底数。由于x^2总是正的，所以当x上升到无穷大时， exp(x2)将上升到无穷大，这使得积分更难计算。另一方面， exp(-x)在x到无穷大时为零，所以我们选择函数f(x)=exp(-x) 。
其中一个表达式中的体积微分元素
所以现在，我们只需要一个带有dVn的表达式。 dVn表示一个积分或导数。我们要解决的是体积问题，所以我们将尝试使用积分。记住，我们计算的是exp(-x^2) ，它有一个著名的积分：
如果你想自己推导，可以找一个类似的积分，然后试着把原来的积分转换成更容易的积分。你可能想研究一下极坐标，因为dA=r dθ dr ，你可以使用这个r ，或者研究一下莱布尼兹规则/费曼积分下的微分。总之，如果我们将n个高斯积分相乘，我们可以用f(a)f(b)=f(a+b) ，最后我们会得到：