热力学 从零推导出理想气体定律,一项浩大的工程,涉及数理化三个领域( 三 )


关于单位的问题
这个表达式没有正确的单位 。 2mU是动量的平方 , 而我们需要动量的三次方 。 我们可以通过乘以一个常数或取根号2mU的三次方 。 一旦我们处理大量的粒子 , 我们会选择第二个方法 。
多个粒子我们可以对任何独立的量使用基本计数定理 。
常量
由于常数是独立于系统的 , 我们将用N个粒子中的每一个的倍率除以h^3 , 剩下的就是:
位置
正如我在前面对理想气体的定义中所说 , 粒子不占用空间 , 也不相互作用 。 因此 , 每个粒子的位置是独立于任何其他粒子的 。 由于我们有独立的位置 , 我们将把每个粒子的多重性乘以V , 剩下的就是:
动量
不同于常数和位置 , 动量是相互依赖的 。 考虑每个粒子的动能相对于总能量的关系 。
记住 , 我们要求的是在给定的能量下 , 分配动量的可能方式的数量 。 如果我们把能量改为X焦耳 , 那么我们就在寻找分配动量的可能方式的数量 , 以便使总能量为X焦耳 。 出于这个原因 , 我们在这一部分的分析中认为能量是恒定的 。
接下来的部分听起来比实际情况更糟糕 。 如果我们看一下动量项 , 有一堆平方值加起来等于一个常数 。 两个平方值加在一起得到一个常数 , 是一个圆 。 三个平方值 , 是一个球体 。 但这里超过三个平方值 , 所以是一个超球体 。 为了找到动量的多重性 , 我们需要求一个n维的超球体的表面积 。 不过 , 不要被吓到 。 数学使我们能够让我们讨论看不见的事物 。
超球体
有很多方法可以求一个n维球体的表面积 。 在这个推导中 , 我不做直接积分 , 那样会比较麻烦 。 相反 , 我们将利用n维球体的属性:

  • 我们可以把一个n维球面表示为半径的平方和 。
  • 任何n维物体的体积都与它的半径的n次方成正比 。

  • 表面积是体积相对于半径的导数 。

这个比例关系很有用 。 你需要用长度来表示n维体积 , 体积应该随着半径的增加而增加 。 表面积和体积之间的关系也是有用的 。 想象一下 , 在一个球体上涂上数千层颜料 。 每一层都能在保持球的球形的同时增加球的体积 。 如果你不断添加图层 , 你会得到一个和地球一样大的球体 。 如果你想要一个2D的可视化示例 , 请看下面图像:
如果我们把最后两个特点结合起来 , 我们最终会得到:
有了这个结果 , 我们可以看到 , 我们只需要求出V_n就可以得到我们的答案 。
求解思路我们要想出两个不同的表达方式 , 这两个表达方式相互之间是相等的 。 其中一种方式将包含V_n , 另一种则不包含 。 二次方之和和n维体积微分元素(dVn)都需要在这些表达式中至少有一个出现 。
然后 , 我们设这两个表达式相等 , 并求解V_n 。
其中一个表达式中的平方之和
我们想要尽可能多的平方相加 , 所以我们要寻找一个函数f和一个运算★(加法、减法、乘法、除法或任何二级运算) , 满足f(a+b)=f(a)★f(b) 。 如果我们找到这样一个函数和运算 , 那么:
这个方程可以让我们用f(r^2)和f(x^2)运算 , 这让计算更容易 。
如果我们让★为加法 , f(x)=x , 那么我们最终会在超球坐标中进行积分 , 这是我想避免的 。 除了让f(x)=x之外 , 我看不出有什么其他方法可以满足上述对f的限制 , 而★是加法 , 所以让我们试试其他方法 。 减法行不通 , 因为f(a+b)=f(b+a) , 这意味着f(a)★f(b)=f(b)★f(a) 。 在数学术语中 , ★必须是可交换的 。 由于减法不是可交换的 , 所以我们不能用它 。 除法也是如此 。 乘法是我们剩下的唯一基本运算 。 在这种情况下 , 我们需要一些满足f(a+b)=f(a)f(b)的函数 。
不绕弯子了 , 我们把f(x)当作一个指数函数 。 由于我们使用的是微积分 , 我们希望以e或1/e为底数 。 由于x^2总是正的 , 所以当x上升到无穷大时 , exp(x2)将上升到无穷大 , 这使得积分更难计算 。 另一方面 , exp(-x)在x到无穷大时为零 , 所以我们选择函数f(x)=exp(-x) 。
其中一个表达式中的体积微分元素
所以现在 , 我们只需要一个带有dVn的表达式 。 dVn表示一个积分或导数 。 我们要解决的是体积问题 , 所以我们将尝试使用积分 。 记住 , 我们计算的是exp(-x^2) , 它有一个著名的积分:
如果你想自己推导 , 可以找一个类似的积分 , 然后试着把原来的积分转换成更容易的积分 。 你可能想研究一下极坐标 , 因为dA=r dθ dr , 你可以使用这个r , 或者研究一下莱布尼兹规则/费曼积分下的微分 。 总之 , 如果我们将n个高斯积分相乘 , 我们可以用f(a)f(b)=f(a+b) , 最后我们会得到:

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