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连续性方程可以说是所有科学中应用最频繁的方程之一 , 几乎无处不在 。 从空气动力学和流体力学一直到电磁学和量子力学 , 这个方程主导了大多数的物理学领域 。 但是 , 这个方程究竟在直观层面上揭示了什么 , 为什么它如此重要?
简介?连续性方程是描述某种量w守恒传输的微分方程 。
连续性方程的一般形式如下:
其中
- ρ是单位体积内w量的数量 , 即其密度 。
- j是数量w的通量 。
- σ描述了w的产生(或移除) 。
但在我们深入研究连续性方程的复杂性和应用之前 , 让我们退一步 , 建立必要的理论背景 , 以便更好地理解我们将要讨论的一切 。
理论背景?强度性质(intensive property)和广度性质(extensive property)
我们可以把材料和系统的物理特性分为强度性质和广度性质
强度性质不取决于系统的大小或系统中材料的数量 。 强度性质的例子包括:
- 温度 , T
- 密度 , ρ
- 折射率 , n
- 一个物体的硬度 , η
- 沸点
- 质量 , m
- 体积 , V
- 长度 , L
- 重量 , w
- 熵
例如 , 如果我们要处理的强度性质是质量密度 , 那么这个方程就是简单的质量守恒的表述:质量的变化是离开边界的东西和出现在边界内的东西的总和;没有任何质量是不被考虑的 。
通量
在传输现象中 , 通量被定义为单位面积上一个量的流动速率 。 简单地说 , 通量就是在单位时间内 , 单位面积内流动的量 。
在物理学中 , 有很多种类的通量 。 例如 , 我们将电通量定义为电场流经特定区域的速度 。 如果我们想用数学方法计算通量 , 我们必须采取表面积分 , 这也被称为通量积分 。
有一个重要的通量公式 , 在许多不同的情况下都会出现 。 假设有一个非常小的体积元素 , 其长度用Δx表示 , 其宽度用Δy表示 , 其高度用Δz表示 。 其所有的侧表面的面积为ΔA 。
- 体积元
在一个无限短的时间dt内 , 一个无限少的量dw_in , 流入体积 , 另一个无限少的的量dw_out , 正在离开体积 。
现在 , 如果w以速度v_in进入体积元素 , 那么在时间dt内 , 它已经走过了一个无限小的距离dx_in 。 因此 , 现在的无限小体积等于dx_in乘以ΔΑ 。 最后 , 我们可以定义量w的体积密度 , ρ 。 下面是我们到目前为止所说的所有数学公式:
现在让我们做一些数学上的运算 , 以便得出一个通量的公式 。
我们现在已经得出了一个一般的公式 , 因为还没有指定数量w具体是什么 。
为了在数学上更加精确 , 我们可以取极限 , 当体积趋于0时 , Δx ,Δy ,Δz ,ΔA分别变成dx dy dz da , 最终得到:
这里:
菲克定律?和扩散方程?首先 , 让我们回答一个基本问题 。
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