图3.3.5a 正五边形的图案线应用
图3.3.5b 正十边形的图案线应用
图3.3.5c 蝴蝶结形的图案线应用
图3.3.5d 桶状六边形的图案线应用
图3.3.5e 胖菱形的图案线应用
值得一提的是 ， 五重对称的几何图案体现了优雅的黄金分割 ， 这是它们的固有特征 ， 如图3.3.6c中的红线与绿线的比例完美契合1.618:1 。 这也是五角星图案更受艺术家和设计师青睐的原因 。 无论是世界各国的国旗、徽章、logo ， 还是儿童的涂鸦画 ， 五角星都是常见的元素 。
图3.3.6c 五重对称图案中的黄金分割
关于五重对称图案的设计 ， 最常见的如图3.3.7a-d ， 它基于正十边形、正五边形和桶状六边形组成的密铺 ， 重复单元是菱形 。 图a的图案是最经典的锐角型 ， 图案线夹角为36° 。 正五边形中的图案线形成了标准的黄金五角星 ， 桶状六边形中形成的是两个半星 ， 整体构成了8个五角星和两个半星簇拥着中央的十角星的布局 。 但换个角度看 ， 五角星和十角星之间的空白部分恰好构成了完美的蔷薇花瓣 ， 和十角星一起组成了一朵美丽的十瓣蔷薇花 。 图b的图案仍然是锐角型 ， 夹角扩大一倍变成了72° ， 形成的各种星星也自然丰满了许多 。 图c的图案是钝角型 ， 夹角108° ， 此时五角星已经彻底消失不见 ， 变成了五边形 ， 它与周围的空白一起组成了形如燕子风筝一样的图案 。 图d的图案是两点型 ， 夹角108° ， 它与图c大致类似 ， 但各个拼块之间形成了互锁结构 。
图3.3.7
图3.3.8a-b的底层密铺不同 ， 但重复单元依然是菱形 ， 同为夹角36°的锐角型图案线 。 图a的底层密铺用等腰梯形替换了上图中6个正五边形中的4个 ， 从而在中央形成了一个与梯形的长边等长的菱形 。 显然 ， 等腰梯形是桶状六边形的一半 ， 其内部添加图案线之后形成了一个半星 。 菱形中形成的图案是一个并不规则的十字架 ， 形如前文中“真主的气息”中凹陷的那一侧的变形 。 主体图案十角星依然与周围的空隙形成了蔷薇花 ， 但和菱形相接处的两片花瓣出现了微妙的变化 。 图b的底层密铺则把全部的正五边形都替换成了等腰梯形 ， 在重复单元的中心留下了一个凹六边形 。 最后的图案中又出现了完整的蔷薇花 ， 五角星则全部消失不见 ， 变成了半星 。
图3.3.8
图3.3.9a-b展示了两个底层密铺的重复单元是矩形的例子 ， 图a的密铺构造大致与图3.3.2b相同 ， 但矩形的中央用4个等腰梯形和一个大菱形代替了四个五边形和窄菱形 。 图案线是夹角36°的锐角型图案线 ， 五角星簇拥着十角星 ， 同样形成了完美的蔷薇花图案 。 图b删除了所有的五边形和菱形 ， 取而代之的是6个等腰梯形和一个凹六边形 。 图案线仍然是夹角36°的锐角型图案线 ， 凹六边形中形成了两个不规则的六边形紧夹一个菱形的图案 。 而五角星自然消失不见 。
图3.3.9
二 伊斯兰大圆顶与彭罗斯密铺
几个世纪以来 ， 在没有金属梁的情况下 ， 穹顶一直是世界各地官方和宗教建筑的重要组成部分 。 穹顶被用来为建筑的砖结构划上句号 。 基于穹顶的球形结构 ， 它们为建筑地基提供强度 ， 也使建筑更具有抵抗风雪的能力 。 除了带来力量和保护的感觉 ， 穹顶内部的设计和装饰也像天空、天堂 ， 以及人们可能期望看到的“七重天”之外的东西 。 一些当代的宗教建筑或纪念馆仍然采用穹顶 ， 不再是出于需要 ， 而是基于传统或美学目的 。
旋转对称的放射状设计是装饰伊斯兰建筑圆形穹顶的内部空间的绝佳方案 。 五重对称系统被最广泛地用于创造旋转对称的图案 。 在土耳其伊斯坦布尔的托普卡帕宫博物馆里发现的15世纪晚期托普卡帕卷轴 ， 里面有数张用于穹顶装饰的几何图案设计图纸 。 其中一张图纸如图3.3.10 ， 中央是十角星 ， 向外依次是五边形、簇状三角形、桶状六边形的girih拼块构成的密铺 。
图3.3.10
而数学界发明如出一辙的设计 ， 要等到20世纪后半叶 。 当然 ， 数学家的初衷并非是为了设计装饰图案 ， 而是为了研究非周期密铺 。 所谓“非周期” ， 就是指图案可以无限延续 ， 且无法通过平移复制自身 ， 即不会自我重复 。 很长时间以来 ， 数学家都认为这种密铺不存在 。 直到20世纪60年代 ， 数学家才构造出了一种非周期密铺 ， 居然用了100多种不同的拼块！可想而知这种密铺的繁琐程度 。
1973年 ， 英国物理学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）设计了一种简洁很多的密铺图案 。 图案只有正五边形、五角星、船形、瘦菱形4种形状的拼块 。 密铺结构以正五边形为基础 ， 具有五重旋转对称性 。 随即 ， 这种密铺被命名为P1型彭罗斯密铺 。 [1
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