这些拼块可以构造出无穷多种非周期密铺图案 。 图3.3.12a-b就是其中两种 ， 它们分别以五角星和五边形为中心 ， 向外铺砌正五边形 ， 正五边形中间的空隙用五角星、船形、薄菱形填充 ， 就可以完美密铺 。 适当地给拼块图上颜色 ， 就可以清晰地看出密铺的构造 ， 还能让图案极具美感 。
【伊斯兰图案、彭罗斯密铺和天外陨石：穿越时空的科学艺术碰撞】
图3.3.11 构成P1型彭罗斯密铺的4种拼块
图3.3.12a 以五角星为中心的P1型彭罗斯密铺
图3.3.12b 以正五边形为中心的P1型彭罗斯密铺
转年 ， 彭罗斯又对P1型彭罗斯密铺进行了修改和简化 。 图3.3.13 ， 他将一个菱形分割成两部分 ， 用这分离的两部分 ， 创造出了一种新的拼接方式 。 这两种拼块分别形象地被称为“风筝”形和“飞镖”形 。 这便是P2型彭罗斯镶嵌 。 但无论是风筝形还是飞镖形 ， 它们的角的度数都是36°的整数倍 ， 几种角度通过不同的组合方法 ， 都可以组成360° 。 此外 ， 菱形的四条边具有等长性 ， 且分割出的飞镖和风筝的边都有互相对应的等长的边 。
风筝是一个凸四边形 ， 它的四个内角分别是72°、72°、72°和144° 。 风筝可以沿着对称轴一分为二 ， 形成一对锐角罗宾逊三角形 ， 即角度分别为36°、72°和72°的等腰三角形 。
飞镖是一个凹四边形 ， 其四个内角分别为36°、72°、36°和216° 。 飞镖同样可以沿着对称轴一分为二 ， 形成一对钝角罗宾逊三角形 ， 即角度分别为108°、36°和36°的等腰三角形 。
用风筝和飞镖同样可以构造出无穷多种非周期密铺图案 。 由于风筝和飞镖并不像P1型中的五边形和五角星一样符合五重对称 ， 所以构造密铺图案需要一些技巧 。 一种比较容易掌握的构造方法是先构造出中心图案 ， 然后再放射性地一圈圈向外铺砌风筝和飞镖 。 图3.3.14a用5个风筝在中心铺砌成一个太阳 ， 图b用5个飞镖在中心铺砌成一个星星 ， 二者向外扩张之后都形成了形如五瓣梅花一样的美丽图案 。
图3.3.13 构成P2型彭罗斯密铺的两种拼块
图3.3.14a 以“太阳”为中心的P2型彭罗斯密铺
图3.3.14b 以“星星”为中心的P2型彭罗斯密铺
很快 ， 彭罗斯又创造出的第三种非周期平面图形密铺方案——P3型彭罗斯密铺 ， 它是是由一个瘦菱形和一个胖菱形构成的 ， 如图3.3.15 。
瘦菱形的4个角分别为36°、144°、36°、144° 。 瘦菱形可以沿其短对角线一分为二 ， 形成一对锐角罗宾逊三角形 。
胖菱形的4个角分别为72°、108°、72°、108° 。 胖菱形可以沿其长对角线一分为二 ， 形成一对钝角罗宾逊三角形 。
两种菱形同样可以构造出千变万化的图案 。 菱形比风筝和飞镖更加规则 ， 因而构造密铺图案也更加灵活自如 ， 如图3.3.16a-b 。
图3.3.15 构成P3型彭罗斯密铺的两种拼块
图3.3.16a P3型彭罗斯密铺
图3.3.16b P3型彭罗斯密铺
如果把中世纪伊斯兰工匠的girih拼块与彭罗斯的3套拼块做个对照 ， 就不难发现二者的共同之处 。 彭罗斯3套拼块中的两种菱形和正五边形都同样出现在了girih拼块中 ， 而girih拼块中的正十边形、蝴蝶结形和桶状六边形都可以用彭罗斯的风筝和飞镖拼成 ， 如图3.3.17 。 因此 ， 彭罗斯发现的数学新领域 ， 伊斯兰工匠数百年前就已经涉足并颇有造诣了 。
图3.3.17 girih拼块可以用彭罗斯的风筝和飞镖拼成
密铺问题原本只是数学家们的小娱乐 ， 但说不定什么时候 ， 就会在其他领域中找到用武之地 。 它不仅是伊斯兰工匠设计装饰图案的技法 ， 还用于晶体学——从原子层面研究晶体结构的科学 。 晶体学家用密铺来研究原子的排列方式 。 晶体学家发现 ， 迷人的密铺艺术在原子水平得到重现 。 而5重对称的非周期密铺也颠覆了传统晶体学的认知 。 很长时间以来 ， 晶体学家普遍认为晶体只有2、3、4、6重旋转对称 。 而2009年 ， 一种名为“二十面石”的准周期矿物晶体在俄罗斯的一条河流中被发现 ， 它具有标准模型中不被允许的5重对称性 。 科学家研究表明 ， “二十面石”来自地外 ， 是大约45亿年前的一颗小行星把它带到了地球 。
科学与艺术就这样穿越了时间和空间 ， 碰撞出了最璀璨的火花……
青山不改 ， 绿水长流 ， 在下告退 。
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