存不存在没有图像的函数？ _函数

你提这样的问题其实已表明你并不理解图象这一术语，当然回答你的人绝大多数也是似懂非懂，一知半解。

数学上，函数f(x)的图象定义为点集{(x,f(x))|x属于f(x)的定义域}.认识到这一点，很容易知道你提的问题根本就是无中生有。

也有人谈到图象能否画的问题，他们观点恐怕也值得商榷。你说函数y=x的图象能不能画？你其实画出的只是图象的一部分（大多数情形都是如此）。要是你承认y=x的图象能画，那我描些点来表示狄利克雷函数的图象又有何不可？两者画出的都只是图象的一部分。

归根结底，多数人的观点不过就是从书里抄来的，而书里很多流行的说法其实未必站得住脚。

其他网友观点

只存在画不出图像的函数。比如Dirichlet函数，在有理点取1，无理点取0 。还有Riemann函数、y=sin(1/x)等。但是所有函数都有图像，图像(Graph)的定义就是所有形如(x,f(x))的点的集合。只要给出了函数的定义，就不可能不存在。

其他网友观点

我们画在纸上的函数图像仅仅反映的是有理数的那一部分。构成函数图像的那些“点”，反映的是处在：并排且紧挨着的“一串串无理数”端头上的那些“唯一的有理数” 。每个串上都有无穷多个无理数，但有理数只有处在端头的那一个，函数图像所能反映的就只是这些有理数，无理数则存在于：在二维的纸上所不能画出的“第三维”上。

有理数的点，可以用1/∞表示。在这里，“1/∞”的意思是：在一串无穷多的数中，只有一个有理数。这个有理数就是函数图像中的“点”(或者叫“像素”) 。自然数1是有理数，在这里，“1”的意思就是有无穷多个这样的有理数(即：∞×1/∞) 。函数图像中任意两个相邻的自然数之间都是由无穷多个这样的有理数构成的。

如果有∞多个有理数，就应该有(∞2-∞)多个无理数。如此看来，函数有没有图像也真的无所谓了。

另外，依照数的应用不同，数的定义也有两个层次。第一个层次用于“计数”事物，定义的是有理数的那些点：数是被计量事物的等量物的符号。第二个层次用于“计量”事物，定义的是那些有理数点之间的间隔：数是被计量事物的等量物的间隔的符号。目前，这两个概念我们是混用的，无论在算术上还是函数图像上，以至于极限的概念上莫不如是此，而实质上，我们也没有明确的关于数的定义。基于第二层次数的定义，导数应该是一个十分确定的数，如图：(图中那些圆圈表示的是二次画数图像上的点，图中“1、2、3、……”，那些数可以理解为“1/∞、2/∞、3/∞、……” 。好了，不多说了。)

文章插图

无理数之所以“无理”，是由于从古至今，在我们的数学中未曾存在过这样的等量物，从早期的草棍、石子，到现代的函数图像莫不如此。唯有当我们按照第二层次数的概念，将无理数定义在纸张的“第三维”上，才能够真正理解其无理性的含义，当然，这不等于无理数将从此就有理化了，也不意味着从此无理数将等量物化，因为在数学中，我们还没有发现任何一种能够用一维的数轴来反映二维数带的方法，也没有这样的可行方案。

哦，总是忘了提醒读者，我从不照本宣科，更不百度，从来不百。我的回答一概是即兴，都是原创。想学习数学别看我的东西，想研究数学也别看我的东西，教授数学更不要看，误人子弟。我的东西适合那些梦想着加固数学基础的人看。

补充：

【存不存在没有图像的函数？】首先，函数的本质不是一种数集到另一种数集的映射。函数是数，是最普遍的数。自然数则是一种特殊的函数。不多讲了。其次，任何函数的图像都是不连续的。从图画讲当然是连续的，从有理数点讲也可以认为是连续的，但是，从实数上讲任何函数的图像就都不是连续的了，因为无理数并不在连续的图像上，而是在图像所表示的那些有理数的“斜率”上。对于y=x这类斜率为1的函数，每一个有理数对应着就有∞多个无理数；对于y=x2这类斜率为2的函数，每一个有理数对应着就有2∞多个无理数。这些无理数没在连续的二维图像上，也不能在斜率上表示。但我们可以想象着它们就在图像的第三维上。