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环球科学|在量子世界玩数独：被判为无解的数学谜题，物理学家找出了答案

数学家欧拉提出过一个类似6×6数独的36军官问题：从6个军团各挑6种不同军衔的军官一共36人 ， 将这36名军官排成一个方阵 ， 能否让每一行、每一列的军官所属的军团和军衔都不相同？后来数学家证明了 ， 类似的5阶、7阶问题都有解 ， 唯独在6阶无解 。 再后来 ， 一群物理学家开了脑洞：如果每个军官都处在两个军团和两种军衔的叠加态中 ， 这个问题还有解吗？他们真的找到了一个量子解……
撰文|白德凡
审校|二七
数独游戏风靡全球 ， 无论你是否爱玩 ， 至少也听说过这种游戏的规则：一个9×9的网格被分为9个3×3的“宫” ， 将数字1~9填入这些格子中 ， 要保证每行、每列和每宫都没有重复的数字 。 一般一个数独游戏会给出部分提示数 ， 剩下的数字则需要玩家推理填补上 。 就是这样一个简单的规则 ， 衍生出了非常多的解题技巧 ， 引得无数玩家乐此不疲 。
数独的前身可以追溯到18世纪的欧洲 ， 数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）总结了当时流行的一种填字游戏 ， 称为“拉丁方阵”（Latin square） 。 游戏的规则即是在n阶的方形网格中填入n种拉丁字母（类似于2阶数独中 ， 填入数字1~2 ， 而3阶数独中填入1~3） ， 使得每行、每列的字母都不会重复 。 这种方阵不限于9阶 ， 也没有宫的限制 ， 但保留了数独最基本的“每行每列不重复”的要求 。
不过让欧拉着迷的是拉丁方阵的一种更复杂的版本 。 欧拉考虑往每个格子中填入一个拉丁字母和一个希腊字母 ， 使得每行、每列的字母都不会重复 ， 并且每个格子中的希腊-拉丁字母对也不重复 。 这种方阵叫做“希腊-拉丁方阵”（Graeco-Latin square） ， 其实质是将两个正交拉丁方阵（orthogonal Latin squares）并成一个方阵 。 这里的“正交”即是指 ， 两个方阵对应格子组成的有序对不重复 。 如果你也想尝试 ， 格子里的元素并不一定要是希腊和拉丁字母 ， 你也可以用扑克牌的花色组合 ， 甚至有序数对表示 。
无解的36军官问题
欧拉在仔细考察了希腊-拉丁方阵后发现了一个有趣的现象：3 ， 4 ， 5 ， 7阶的希腊-拉丁方阵都可以构造出来 ， 但是无法构造出2阶和6阶的希腊-拉丁方阵 。 2阶的问题比较好处理 ， 通过穷举法就能看出这样的希腊-拉丁方阵不存在 ， 而6阶的问题相对复杂一些 。 欧拉用更通俗的语言复述了这个问题：从6个军团各挑6种不同军衔的军官一共36人 ， 将这36名军官排成一个方阵 ， 能否让每一行、每一列的军官所属的军团和军衔都不相同？
3 ， 4 ， 5 ， 7阶军官问题的解 。 其中格子的颜色代表军团 ， 格子中的符号代表军衔（图片来源：Wikipedia）
欧拉认为这个“36军官问题”问题是无解的 ， 即不存在6阶的希腊-拉丁方阵 。 并且他猜想 ， 所有阶数为除以4余2的数的希腊-拉丁方阵都不存在 ， 也就是说 ， 2 ， 6 ， 10 ， 14……阶的希腊-拉丁方阵都不存在 。
一个多世纪后的1901年 ， 法国数学家加斯顿·塔里（Gaston Tarry）通过穷举法证实了 ， 按规则构造出来的6阶方阵总会有格子里的元素是重复的 ， 6阶希腊-拉丁方阵确实不存在 。 到了1959年 ， 有数学家证明了欧拉进一步的猜想是不成立的 ， 也就是说 ， 除了2阶和6阶 ， 其他阶数的希腊-拉丁方阵都是存在的 。 至此 ， 这个关于原始版数独的问题在数学上有了答案 。
量子解法
时间来到21世纪 ， 一帮物理学家重新翻出了欧拉的36军官问题 。 尽管这个问题在数学上已经有了定论 ， 但他们从物理学的角度开了个脑洞：假如这36军官处在一种量子叠加态中 ， 每个军官“部分地”属于一个军团和一种军衔 ， 又“部分地”属于另一个军团和另一种军衔 ， 那这个问题还有解吗？
沿着这个思路 ， 有物理学家修改了一下希腊-拉丁方阵的构造规则 ， 给出了一个量子版本的数独游戏 。 在量子力学中 ， 物体的状态可以用向量来表示 。 在量子版36军官问题中 ， 每个军官所属的军团可以表示为一个6维空间中的向量 ， 所属的军衔又可以表示为另一个6维空间中的向量 。 由于军官可以处在各种叠加态中 ， 这些向量可以各不相同 ， 它们排列成的6×6方阵也就很容易满足“每行每列的向量各不相同”的要求 ， 但这没有研究价值 。 物理学家感兴趣的是 ， 每行、每列的向量是否构成了所属空间的一组标准正交基 。
要理解所谓“标准正交基” ， 可以做个类比 。 我们所熟悉的三维空间中 ， 可以建立直角坐标系 ， 沿坐标系中的x ， y ， z轴方向的单位向量便构成了一组标准正交基 ， 这三个向量满足：方向上两两垂直 ， 大小上都为单位长度 。 36军官问题可做类似理解 ， 这意味着 ， 6×6方阵中代表军官军团和军衔的向量要满足：每行、每列的向量两两垂直 ， 并且大小为单位长度 。
事实上 ， 代表军团的6维空间和代表军衔的6维空间可以扩充为一个36维空间 ， 而每个军官的军团和军衔可以由这个36维空间中的一个向量表示 。 这些向量排列成的6×6方阵依然需要满足：每行、每列的向量两两垂直 ， 并且大小为单位长度 。
在近期提交给《物理评论快报》的一篇预印本论文中 ， 来自印度理工学院、波兰雅盖隆大学等机构的物理学家为这个量子版本的36军官问题找到了解 。 他们先是构造出了一个经典的6×6希腊-拉丁方阵的近似解（这意味着有部分格子里的元素是重复的） ， 然后在计算机的帮助下 ， 将这个近似解调整为量子版本的解 。 他们使用了一种算法实现这一点 ， 这种算法有点像蛮力解魔方 ， 先拼好第一行 ， 然后拼第一列、第二列 ， 以此类推 ， 直到终于拼出完整的魔方 。 当他们一遍遍重复该算法后 ， 得到了量子版36军官问题的解 。
【环球科学|在量子世界玩数独：被判为无解的数学谜题，物理学家找出了答案】这篇论文用扑克牌代替了军官：点数A ， K ， Q ， J ， 10 ， 9代替了军团；花色? ， ? ， ? ， ? ， ? ， ?代替了军衔 。 最终得到的量子解中 ， 每个格子上的牌都处在两种点数和两种花色的叠加态中 。 值得注意的是 ， 凡是格子中出现了点数A ， 与之叠加的点数一定是K；Q与J ， 10与9同理 。 而凡是格子中出现了花色? ， 与之叠加的花色一定是?；?与? ， ?与?同理 。 这说明 ， 点数和花色各自两两发生了量子纠缠 。 也正是由于纠缠态的存在 ， 整个方阵就不能像经典的希腊-拉丁方阵那样 ， 按点数和花色分解成两个独立的拉丁方阵 。 这也是量子拉丁方阵的特别之处 。
研究人员说 ， 这个古老数独问题的量子解 ， 等价于一个4粒子系统的绝对最大纠缠态（Absolutely Maximally Entangled state） 。 这种纠缠态可以应用于量子计算中的纠错等许多场景 ， 例如在量子计算机中以这种状态存储冗余信息 ， 即使数据遭到损坏 ， 信息也能保存下来 。 这个源自欧拉的古老数学问题 ， 在243年后得到了一个物理学上的新解答 。 或许对于理论物理学家来说 ， 这只是一次好玩的脑洞 ， 却让量子通信和量子计算领域的研究者从中受益 。 科学的进步往往就发生在这样的游戏中 。
参考链接：
https：//www.quantamagazine.org/eulers-243-year-old-impossible-puzzle-gets-a-quantum-solution-20220110/
论文链接：
https：//arxiv.org/abs/2104.05122

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