盘点人类数学史上三次危机，最后一个危机至今仍没解决！
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几乎从一出生开始 ， 我们就开始接触数学 ， 甚至比接触语文还要早 。 到了牙牙学语的时候 ， 爸妈主动教我们认数字 ， 然后是简单的加减法 。 到了学龄阶段 ， 数学也是与语文同等重要的学科 。
古代人类对数学也非常痴迷 ， 热衷于研究数学 。 古代人类一直相信整数看起来如此优美 ， 肯定可以代表宇宙中的所有事物 。
但是 ， 随着一次意外地发现 ， 完全颠覆了古人类对数学的认知 。
在研究等腰直角三角形时 ， 人们发现 ， 如果三角形的直角边是1 ， 那么斜边长就是根号2 。 但是当人们想知道根号2到底是一个什么数时 ， 就开始“恐惧”起来 。
人们发现 ， 不管如何计算 ， 根号2好像永远算不到尽头一样 ， 人们第一次认识到了无理数的存在 。 无理数的发现也彻底打破了人们对自然界中整数的优美认知 。
但人们不可能对无理数视而不见 ， 而是开始摆脱对整数的追求 ， 进而研究无理数 。 无理数的存在也让人们第一次开始思考有关无穷的概念 。
最典型的就是“在“芝诺悖论” ， 具体是这样的 。
你和一只乌龟赛跑 ， 你的速度是乌龟的10倍 ， 但乌龟的起点在你前方100米 。 当你跑100米来到乌龟起点的时候 ， 乌龟跑了10米 。 当你跑10米时 ， 乌龟跑了1米 。 当你跑1米的时候 ， 乌龟跑0.1米......
能够看出 ， 你跑的距离永远是乌龟之前跑的距离 ， 也就是说 ， 你永远追不上乌龟 。
但现实中我们都知道 ， 你很快就会追上并超越乌龟 。 古代人类开始思考无穷的概念 ， 如果按照上面的思路 ， 很容易陷入悖论中不能自拔 。 但仔细思考就能看出悖论的问题所在 。 对路程的无限细分意味着需要无穷多的时间 ， 但是你的时间总是有限的 ， 你肯定不能在有限的时间里做无穷多的事情 。 当然 ， 用如今我们知道的极限概念更容易理解 。
对无穷概念和无理数的思考也让人类化解了第一次数学危机 。 直到两千多年之后 ， 第二次数学危机才悄然降临 ， 也就是微积分思想 。
在牛顿时代 ， 人们还没有完全理解0和无穷下之间的关系 ， 没有彻底搞清楚积分 ， 微分还有导数的真正含义 。
【盘点人类数学史上三次危机，最后一个危机至今仍没解决！】
比如说在研究曲线上某个点的切线斜率时 ， 如今我们知道可以在切点上取一个边长无限小的直角三角形 ， 用这个三角形的斜边就可以代替切线斜率 。
但是人们的心里面总是有一道过不去的坎：总是认为无论直角三角形有多么小 ， 斜边也不可能真的是切线斜率 。 两者总是有误差的 ， 不能画等号 。
直角三角形的斜边可以无限靠近切线斜率 ， 但两者永远不会相同 。 这就像如今很多人还在质疑的一个问题很类似：0.999......和1到底是不是相等的问题 。
这就是数学史上的第二次危机 ， 根本还在于人们对微积分的理解有偏差 。
第三次数学危机发生在第二次数学危机的两百多年之后 。 主要是关于集合论的辩论 。 最著名的就是“罗素悖论” 。
举个简单的例子 ， 一个非常牛逼的理发师打出一个条幅 ， 条幅上写着：给所有不能给自己理发的人理发！
那么问题来了：这个牛逼的理发师能不能给自己理发呢？
如果能 ， 就与宣传广告发生矛盾了：给不能自己理发的人理发 ， 但理发师能自己给自己理发 。 如果不能 ， 也不行 ， 因为理发师说了能给自己不能理发的人理发 。
罗素悖论听起来更像是一种诡辩 ， 对集合论定义的诡辩 。 不过即使是真的是诡辩 ， 人们至今也没能很好地解释这样的诡辩的问题到底出在哪里 。
就像人们网络上经常会遇到的一个问题：上帝能无所不能的 ， 那么上帝能制造出一个他自己搬不动的石头吗？与上面的理发师问题一样 ， 无论能或者不能 ， 都会出现矛盾 。
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