这种效应给天气预报带来了很大的问题 。 但如果断定是蝴蝶引起了飓风 ， 那就错了 。 在现实世界中 ， 影响天气的不是一只蝴蝶 ， 而是数万亿只蝴蝶的统计特征和其他微小扰动 。 总的来说 ， 这些因素对飓风形成的地点、时间以及随后的走向都有明确的影响 。
研究人员利用拓扑方法证明了庞加莱观察到的奇异解是方程中奇异吸引子的必然结果 。 一个奇异吸引子是一个复杂的运动 。 它可以被可视化为由描述系统的变量形成的状态空间中的一个形状 。
吸引子的结构解释了混沌系统的一个奇特特征：它们可以在短期内被预测 ， 但不能在长期内被预测 。 为什么不能把几个短期预测串在一起形成一个长期预测呢？因为我们描述混沌系统的准确性会随着时间的推移而下降 ， 而且下降速度在不断增长 ， 所以存在一个我们无法超越的预测范围 。 尽管如此 ， 系统仍然在同一个奇异吸引子上 ， 但它经过吸引子的路径发生了显著的变化 。
这改变了我们对蝴蝶效应的看法 。 蝴蝶所能做的就是在同一个奇异吸引子上推动天气的变化 。
大卫·鲁埃尔和弗洛里斯·塔肯斯很快发现了奇异吸引子在物理学中的应用 ， 即令人困惑的流体湍流问题 。 流体流动的标准方程 ， 称为Navier-Stokes方程 ， 是偏微分方程 。 一种常见的流体流动 ， 层流 ， 是光滑和规则的 ， 这正是你从确定性理论中所期望的 。 但另一种类型 ， 湍流 ， 是不规则的 ， 几乎是随机的 。 先前的理论要么声称湍流是一种极其复杂模式的组合 ， 其中每个模式都非常简单 ， 要么声称Navier-Stokes方程在湍流状态下失效 。 但鲁埃尔和塔肯斯还有第三种理论 。 他们认为 ， 湍流是一种奇异吸引子的物理实例 。
最初 ， 人们对这一理论持怀疑态度 ， 但我们现在知道 ， 它是正确的 。 其他成功的应用也接踵而至 ， “混沌”一词被用作所有此类行为的名称 。
理论的怪物在1870年到1930年之间 ， 一群特立独行的数学家发明了一系列奇异的形状 ， 其唯一目的就是要证明经典分析的局限性 。 在微积分的早期发展过程中 ， 数学家们假定任何连续变化的量几乎在任何地方都具有明确的变化率 。 例如 ， 一个在空间中连续移动的物体有一个明确的速度 。 然而 ， 1872年 ， 魏尔斯特拉斯证明了这个长期存在的假设是错误的 。 一个物体可以以连续的方式运动 ， 但它的运动方式很不规则 ， 它的速度每时每刻都在突然变化 。 这意味着它实际上根本没有一个合理的速度 。
数学家们发现的怪异形状包括：一条曲线填满了整个空间区域（一条是皮亚诺在1890年发现的 ， 另一条是希尔伯特在1891年发现的） ， 一条曲线在每一点上都交叉 ， 一条无限长曲线包围了一个有限的区域 。 最后一个怪异的几何图形 ， 是冯·科赫在1906年发明的 ， 雪花曲线 ， 它的结构是这样的
由于它的六重对称 ， 最终的结果看起来像一个复杂的雪花 。
数学的主流开始谴责这些奇怪的东西是“病态的”和“怪物的画廊” ， 但随着时间的推移 ， 特立作派的观点得到了支持 。 到了世纪之交 ， 数学家们已经开始接受了“怪物的画廊”里的“怪物们”了 。 到了1900年 ， 希尔伯特甚至称这一领域为天堂 。
在20世纪60年代 ， 出乎所有人的意料 ， 理论怪物的画廊在应用科学的方向上得到了意想不到的推动 。 曼德布洛特意识到这些怪异的曲线是自然界不规则理论的线索 。 他把它们重新命名为分形 。 自然界充斥着复杂而不规则的结构 ， 如海岸线、山脉、云层、树木、冰川、河流系统、海浪、环形山、花椰菜 ， 传统几何学对这些结构无能为力 。 我们需要一种新的自然几何学 。
今天 ， 科学家们已经把分形纳入进了他们的正常思维方式中 。 大气流动是湍流 ， 湍流是分形 ， 而分形可以像魏尔斯特拉斯的畸形函数一样连续运动 ， 但没有明确的速度 。 曼德布洛特在科学内外的许多领域都发现了分形的例子——树的形状、河流的分支模式、股票市场的走势 。
混沌无处不在奇异吸引子 ， 从几何上看 ， 原来是分形 ， 这两条思想线交织在一起 ， 形成了现在广为人知的混沌理论 。
混沌几乎存在于每一个科学领域 。 数学家发现太阳系的动力学是混沌的 。 由于动力学混沌的存在 ， 对太阳系的预测的范围大约在1000万年左右 。 所以 ， 如果你想知道地球在公元1000万年时在太阳的哪面是不可能的 。 这些天文学家还表明 ， 月球的潮汐使地球稳定下来 ， 从而导致气候宜居；所以混沌理论表明 ， 如果没有月球 ， 地球将是一个非常不适合居住的地方 。
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