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在一本数学教科书里 ， 有这样一道习题 如果有三个正方形和三个直角三角形 ， 你可以说它们是正方形；如果有五种颜色的圆形和一个正方形 ， 你可以说它们是圆形；如果有一个正方形（3×5）和一个三角形（5×3） ， 那么这个正方形将是圆形 。我们都知道 ， 正方体就是三角形的一种图形结构 ， 而正方体也可以用其他几何结构来表示 。 那么究竟这道题的正确答案应该是什么呢？ 在古希腊时期有这样一个说法 如果把三个正方形和三个直角三角形都摆在地板上 ， 我们可以说他们是正方形；如果把两条竖直的直线摆在地板上 ， 我们也可以说它们是直角三角形 。但是实际上并非如此 。
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1、正方形和直角三角形不是正方形
正方形是一个长方形 ， 也就是正方体 ， 在它的四个角上有不同的小尖角 。我们在生活中常见的长方形、正八边形、正方形、菱形是正方形 。正方形通常用两条直角边和三条斜边来定义 ， 比如一个正方形可以表示为三角形和平行四边形 。如果用五种颜色和一个正方形来表示一个三角形 ， 那么也可以用五种颜色和一个正方形来表示 ， 例如紫色、绿色、蓝色和黄色 。同样的 ， 如果有五个圆的话 ， 也可以用五个圆来表示圆形、三角形、扇形、矩形（正方体） 。
在数学中我们也经常会遇到这种情况 。如果我们把两条竖直的直线放在地板上 ， 那么它们就是长方形 。例如 ， 当我在黑板上写下这个题目时 ， 我可以告诉你三条竖直线（3*2）是长方形；而当我在地板上写下这个题目时 ， 三条竖直线（2*2）是三角形 。事实上这三条竖直的直线都不是长方形 ， 它们就是正方形或正八等分图形 。在数学中有很多种表达方法来表示三个正方形和几个直角三角形 ， 例如矩形（长方形）等图形（矩形）、平行四边形（圆形）等图形（圆形）等等 。而正八方形只在生活中比较常见 ， 它也可以用来表示其它类型的形状 。
2、正方形和两条直线不是两条直角
如果这两条直线型的正方体和正方体是直角三角形 ， 那么我们也可以说他们是直角三角形 。同样的 ， 这种说法也很容易证明只要将两条正方形摆在地板上 ， 就可以得到一种三角形 ， 这个三角形就是直角三角形 。但是 ， 对于三个正方体和三条直线来说 ， 如果他们是正方形或直线型的正方形或直角三角形的话 ， 我们怎么能说这两个是直角呢？ 这个问题我们需要再一次回顾一下古希腊的几何学理论 。古希腊人认为直线和正方形可以看作两条平行线 。这个想法与古希腊的几何学理论完全不同 。 古希腊人认为这两条平行线不仅是平行或交叉的关系 ， 而且还是直线或竖道关系 。而在古希腊时期 ， 人们把三角形称为正方形是因为它有三个角 。因此在古希腊时期人们认为三角形有四条平行线和五条平行线 。在古希腊的时候 ， 如果把两个正方形放在地板上被视为正方形时 ， 他们会被当成平行于地面的直线也就成了直角三角形 。
3、在同一平面上 ， 三个面积相同的圆
我们还可以把这个问题再扩大一些 ，我们知道有三个三角形和一个正方形是圆的形状 ， 那么有什么可以用来表示圆的形状呢？ 答案就是面积相同的圆 。这就涉及到了面积这个概念 ， 面积的定义非常简单 ， 它表示一个物体表面与周围环境间的距离 。这其中 ， 最重要的一点是大小和面积不能混淆 。面积就是用图形上某一点到另一点之间距离的总和来表示图形大小的 ， 它也叫做图形表面大小 。所以如果一个物体在一张平面纸上 ， 而且在一个正方形和一个正三角形间没有任何其他颜色 ， 那就表示它是一个圆 。
当然上面这个例子并不包含三个颜色或一张纸上有四种颜色这样复杂的几何结构 。所以如果你要从另两个角度去理解这些问题 ， 那么你需要将他们结合起来从表面尺寸来看 ， 两种颜色中最大的那个物体必须在其表面上覆盖着一张平面纸；从颜色角度来看 ， 每个颜色都必须有它们自己独特的形状特征 。但是还有一个问题——那就是如果你不能把所有这些复杂结构都想象成圆形 ， 你会怎么想？ 例如如果我们从三角形中选择了三个角和三个边 ， 然后让它们组成了一个圆吗？ 当然不会！ 这是因为三角形是一种平面几何结构 。如果我们想要把它们想象成圆形的话 ， 那就必须考虑圆的形状 。我们可以把这个问题想象成这样一种情况我们可以看到两个圆形互相连接到一起一个圆面积大得多、半径也很大；另一个圆面积小得多、半径也很小 。从这个角度来看不难理解这两个物体之间存在相似性因为两个直径的体积是相等的、所以它们都可以看成是同一个物体 。同样问题也能推广到我们日常生活中来 。
