2021，一个平平无奇的数字( 二 )
41, 43, 47, 53, ……, 1601 ，
全部是素数 。 这个事实可以用下面的乌拉姆螺旋(Ulam spiral)来直观地表示 。 从41开始 ， 把自然数按照逆时针螺旋形写在方格纸上 ， 然后标出其中所有的素数 。 我们会发现 ， 包含41的右上至左下的对角线上连续排列着很多个素数 。
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从41开始的乌拉姆螺旋 ， 其中素数标为蓝色 ， 素数的平方标为绿色 。 丨图源：Twitter账户Fermat's Library
注：乌拉姆(Stanislaw Ulam)是一位波兰犹太裔数学家 ， 在纳粹入侵波兰前夕移居美国 。 他参与了研制原子弹的曼哈顿工程 ， 并在氢弹研制中发挥了关键作用 。 美英等国的氢弹构型即被命名为泰勒-乌拉姆构型 。 乌拉姆螺旋是他于一次会议上 ， 听报告过程中闲得无聊 ， 在纸上乱画时发现的 。
欧拉的这个二次多项式不可能永远得到素数 ， 但是接下来的很多值仍然是素数或者半素数：
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其中 P(44) 正是我们的年份2021！
用计算机很容易算出 ， 要一直到 n=420 ， 我们才会得到第一个既不是素数又不是半素数的P(n)：
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而在从n=0到n=419的总共420个P(n)中 ， 有281个素数 ， 139个半素数 。
1857年 ， 俄国数学家布尼亚科夫斯基(Viktor Bunyakovsky)猜测 ， 存在无穷多个正整数n ， 使得P(n)是素数 。 (布尼亚科夫斯基实际上对于更为一般的多项式作出了这个猜想 。 ) 这个猜想至今尚未得到证明 。 1978年 ， 波兰数学家伊万尼克(Henryk Iwaniec)证明了 ， 存在无穷多个正整数n ， 使得P(n)是素数或者半素数 。 (伊万尼克对于一般的二次多项式证明了这个结论 。 )
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伊万尼克从特首梁振英手中接过2015年度邵逸夫数学奖丨图源：邵逸夫奖
RSA公钥密码
那么 ， 为什么数学家们要研究素数或者半素数呢？它们跟我们的生活有什么关系？能吃吗？
答案是 ， 它们确实跟我们的生活有着密切关系 。 我们今天能够开通网上银行被巨头割韭菜 ， 进行网络购物双十一剁手 ， 甚至上网浏览 ， 都要感谢素数和半素数 。 究其原因 ， 是利用了如下的性质：把两个数相乘很容易 ， 把一个数分解成乘积则很难 。
我们可以看看2021这个例子 。 如果要计算43×47 ， 小学三四年级的学生就能轻松算出结果是2021 。 但如果不知道其中任何一个因子 ， 要想找出来2021是哪两个数的乘积就不那么容易 。
另外一个著名的例子是分解
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1903年 ， 美国数学家科尔(Frank Nelson Cole)曾经在美国数学会的会议上作过一次无言的“演讲” 。 他沉默地走上讲台 ， 用粉笔在黑板上算出
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然后他继续计算
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得到的结果跟前面一样 。 他的无言演讲赢得了全场的起立鼓掌 。 有人问他是怎样找到这一分解的 ， 他说：“三年中的全部星期天 。 ”
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科尔丨图源：维基百科
实际上 ， 计算
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细心的人最多五分钟就能手算出来 ， ——但找到这样的分解却花费了科尔一百多天 。 （科尔的名字被用于命名美国数学会在数论和代数方面的最高奖 ， 张益唐和许晨阳曾分别获得这两项科尔奖）
今天 ， 用一台普通的计算机就能轻易分解2021或者
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但如果数字更大 ， 分解仍然十分困难 。 比如我们拿两个300位以上的素数相乘 ， 用普通计算机可以迅速算出结果 。 但如果只给你这个乘积的结果 ， 在不知道任何一个因子的情况下 ， 即便是使用超级计算机也需要很多年才可以分解出来 。
大数分解的这一特性被密码学家用来设计公钥密码 。 密码在各类影视文学作品里经常出现 ， 比如福尔摩斯探案故事里的跳舞小人 。 在这个故事里 ， 出现了一个密钥 ， 就是把英文字母一一对应于各种不同形态的跳舞小人 。
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