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坐标系是如何诞生的？( 二 )


这样 ， 我们已经看到阿波罗尼奥斯已经区分出了x轴 ， y轴 ， 坐标原点 ， 尽管它们使用了不同的称谓 。 在外在形式上 ， 他的坐标轴只是一条直线 ， 并没有方向 ， 也没有负轴 ， 相当于今天只在笛卡尔坐标系第一象限中进行研究 。 现代坐标系的建立并沟通代数与几何之间的联系 ， 主要是费马（Pierre de Fermat 1607-1665）和笛卡尔（RenéDescartes 1596-1650）的贡献 。
费马关于坐标系的工作是从阿波罗尼奥斯的《论平面轨迹》开始的 ， 他借用了韦达（Franois Viète 1540-1603）在代数中系统地使用字母表达的方式 ， 这为代数方法在几何中应用提供了便利条件 。 如图3所示 ， 设有任意曲线 ， 其上的点标记为J ， J的位置由A、E给出（图中它们分别表示OZ和ZJ线段的长度） ， 这个坐标系相当于现在的倾斜坐标系 。 费马的坐标系被认为是利用韦达的现代表示方法 ， 重新翻译了阿波罗尼奥斯的坐标系 。 特点是没有使用y轴 ， 没有负坐标轴 。
图3 费马和他用坐标图形表达的曲线方程
费马叙述出了一条基本原则：只要在最后的方程里出现两个未知量 ， 我们就得到一个轨迹 ， 这两个量之一 ， 其末端就描绘出一条直线或曲线 ， 即J点的描绘出的轨迹 。 例如图3中 ， 用x、y表示A、E ， 它们之间的关系就表示该曲线的方程 ， 它的意义在于利用坐标系表示了代数方程 ， 给出了曲线方程的意义 ， 这无论是对于几何还是代数都是巨大的进步 。
笛卡尔在坐标系上的工作更进一步 ， 他首先批评了希腊几何与代数的不足 ， 他称欧几里得几何中每一个证明 ， 总是依赖于某种新奇的技巧 ， 缺少可以通用的一般方法 ， 这使得人们在想象力大大疲乏的情况下去练习理解力（几何的证明有时让人摸不着头脑） 。 他也批评代数 ， 说它完全受法则和公式的控制 ， 以至于成为一种充满混杂与晦暗 ， 成为阻碍思想的艺术 ， 而不是一门改进思想的科学（代数太过于抽象 ， 不便于理解） 。
但是 ， 几何与代数的优点也是显著的 ， 几何的形象直观 ， 代数作为一般科学方法的重大优势 ， 引起了笛卡尔的关注 。 这便促使他产生了把代数应用到几何中 ， 发展一种同时融合两种方法优点的想法 。 这就是他的《几何》一书 ， 他也采用韦达的字母体系 。 笛卡尔坐标系就是这一过程中提出来的 ， 他主要完成了以下几个方面的工作：
1. 利用方程思想解决作图问题 。 例如假定某个几何问题归结为寻求一个未知长度的线段 ， 设为x ， 并且知道x满足关系x^2=ax+b^2 ， 其中a和b为已知长度 。 由代数给出的结果为
笛卡尔只考虑正根 ， 不考虑负根 。 他强调对于未知量 ， 必须假定已知 ， 然后建立方程 。
图4 笛卡尔利用代数解决几何作图问题的一个例题
2. 坐标系中的方程曲线 。 对于不确定问题 ， 结果可能有许多长度作为答案 ， 将这些长度的端点连接起来将成为一条曲线 。 笛卡尔的做法是先选定一条直线作为基线 ， 如图5所示的A点为原点 ， x是基线上从A点量起的长度AP ， y是PC的长度 ， 它与基线所成角为固定角 。
可以看出 ， 笛卡尔与费马绘制曲线的方法 ， 以及坐标的使用基本一致 。 但是我们看到 ， 笛卡尔坐标系中原点A的两侧都有点或线 ， 笛卡尔曾附带的讨论过取负坐标轴的情况 ， 但是他并没有提出负轴的概念 ， 他对坐标的讨论依然以第一象限为主 。
图5 笛卡尔和他使用的坐标系
3. 笛卡尔建立了一般方程与曲线的关系 ， 极大扩展曲线的范畴 。 古希腊只认为可以同直尺和圆规作出来的曲线为可靠曲线 ， 但笛卡尔认为只要给定一个含x和y的代数方程 ， 人们都可以求出它的曲线 ， 这些曲线有些是全新的 。 因为在古希腊 ， 人们只认可平面曲线（尺规作出的曲线）、圆锥曲线和少数的特殊曲线 ， 如蚌线、螺线、割圆线和蔓叶线等 。
4. 笛卡尔借助于坐标从事光学研究 ， 给出了折射定律（这个定律一般认为是Snell给出 ， 笛卡尔是否独立完成仍有争论） 。 笛卡尔还设计了一种能将光线汇聚在一点的透镜 。 他还解决了一个一般性问题：什么样的曲面作为两种介质的交界面时 ， 从第一种介质内一点发出的光线射到曲面上折射进入第二种介质恰好汇聚于一点 。 笛卡尔给出了一种卵形线 ， 并给出了曲线方程 。
图6 笛卡尔卵形线（坐标系是后人加的）
费马对于坐标的研究主要目的在于继承希腊人的思想 ， 主要是阿波罗尼奥斯的思想 。 但笛卡尔利用坐标提出了更为一般的处理方法 ， 大大超越了费马 。 也正是由于笛卡尔 ， 使人们认识到了坐标系的伟大 ， 并由此诞生了解析几何 。

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