线性代数:如何求特征值和特征向量?

线性代数的学习中,掌握方法很重要 。下面就为大家慢慢解析,如何求特征值和特征向量 。

特征值和特征向量的相关定义01

首先我们需要了解特征值和特征向量的定义,如下图;


线性代数:如何求特征值和特征向量?
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齐次性线性方程组和非其齐次线性方程组的区别,如下图;


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特征子空间的定义,如下图;


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特征多项式的定义,如下图;


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特征值的基本性质,如下图;


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齐次线性方程组解法01

齐次线性方程组的特征就是等式右边为0,以消元法简化;


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在初等数学方程组中都是有唯一解的,而在线性代数中,我们把这种情况称为方程组“系数矩阵的秩为1”,记为r(A)=1,当矩阵的秩小于未知数的个数时,方程组有无数个解;当矩阵的秩等于未知数的个数时,方程组只有零解 。由于上诉方程组有两个未知数,而r(A)=1<2,所以此组有无数个解 。设 y=2 ,则 x=1;再设k为任意常数,则 x=k, y=2k为方程组的解,写成矩阵的形式为:


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非齐次线性方程组解法01

【线性代数:如何求特征值和特征向量?】非齐次线性方程组因为不等于0,看起来很复杂,其实方法还是先用消元法简化步骤;


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这一次进行初等行变换后,对于任意的非齐次线性方程组,当 r(A)=r(A|b)=未知数的个数时,非齐次线性方程组有唯一解;当 r(A)=r(A|b)<未知数的个数时,非齐次线性方程组有无数个解;当 r(A) ≠r(A|b) 时,非齐次线性方程组无解 。可见 r(A)=r(A|b)=3,所以[A|b]有唯一解,写回方程组形式:


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例题解析01

求下列矩阵的特征值和特征向量;


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求矩阵特征值和特征向量的一般解法;


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试证明A的特征值唯有1和2;


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证明性问题还是需要解出特征值 。


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关于特征值与特征向量的理解01

对于特征值与特征向量,总结起来大概分为三种理解:


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