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----------- （但愿）适用于有高中理科程度知识的人 -----------------------------------
如果你要问的是教科书式的答案 ， 那我记得应该是这几条：
1、“态”构成希尔伯特空间；
2、“可测量”由希尔伯特空间上的厄米算符表示；
3、态的“时间演化”满足薛定谔方程；
【深度长文：量子力学如此诡异，如何通俗易懂地了解量子力学？】4、“测量”相关：态之间的内积（波函数）的模平方等于坍缩概率 。
没有翻书 ， 如果有遗漏欢迎补充 。
那么怎样通俗地理解呢？
当然我不赞成向广场舞大妈科普量子力学 ， 所以我所说的“通俗”至少是建立在高中理科物理知识基础上 。
很多科普都会向你解释量子力学的理论 ， 每个人思路不同 ， 我也只是提供一种思路 ， 未必适合所有人 ， 但我希望可以启发一些人 。
（你也许用到的知识包括并不仅限于：函数、向量空间、概率与平均值、牛顿力学）
*** 经典力学回顾 ***
首先 ， 让我们仔细看看非量子力学是什么样的 。 原则上 ， 到了大学学习分析力学才能系统地了解经典力学 ， 我们这里只是大概描述一下框架 。
任何力学里都有一个概念：相空间 。 相空间里的元素是“物理状态” ， 简称“态” 。 在经典力学里 ， 相空间由质点的位置和动量描述 ， 意思就是当你知道一个质点的位置和动量 ， 你就完整地知道了它的状态 。 同理 ， 如果你有很多质点组成系统 ， 那么相空间就由每个质点的位置和状态描述 ， 自由度就多了很多 ， 但基本思路还是这样的 。
有了“态”的概念 ， 我们就考察它怎么变化 。 由于“态“涵盖了所有可能的物理信息” ， 所以它的变化率应该已经确定了 。 也就是说 ， 我们知道了所有质点的位置和动量 ， 我们就应该能够知道它们的加速度 ， 否则我们的相空间就没有定义好 。
怎样通过“状态”知道“状态的变化率”呢？就是通过各种力的公式 ， 比如胡克定律 ， 库仑定律 ， 牛顿引力定律 ， 磁力（洛伦兹力 ， 依赖于速度） ， 它们结合牛顿第二定律 ， 就能告诉你在特定状态下所有质点的加速度 。
所有这些力的公式 ， 它们的信息可以隐含在一个量里 ， 叫哈密顿量 ， 你暂时不用明白它怎么来的 。 你需要知道的是 ， 经典力学运作的框架就是：你知道一个相空间长什么样 ， 然后你知道一个叫哈密顿量的东西 ， 这个量能够告诉你在相空间里任意一处状态会随时间怎样变化 。
*** 向量空间与波函数 ***
那么量子力学的理论有哪些本质上的不同呢？在以上的图像里 ， 有一点对于“经典力学”尤为重要 ， 那就是相空间的结构（余切丛） 。 量子力学主要就是相空间的结构不同 ， 量子力学里的相空间是个线性空间 ， 也就是中学学的向量空间 。
我们来看看量子力学的相空间怎样描述状态的 。 作为一个向量空间 ， 中学知识就可以告诉你 ， 可以选取一组互相垂直的基向量 ， 然后任何一个向量都可以用这些基向量的组合来表示 。 量子力学里 ， 我们可以这样选基向量：质点在位置A是一个态|A> ， 质点在位置B是另一个态|B> ， 由于这两件事是互斥的 ， 我们定义这两个态在相空间里是互相垂直的向量 ， 那么我们可以把所有有确定位置的态定义为基向量 。 这样定义后 ， 相空间就是一个无限维的线性空间了 。
既然是向量 ， 就可以相加 。 于是我们有了一个“叠加态”：a*|A>+b*|B> 。 量子力学相空间的结构表明了这样的态是存在的 。 这就是科普书里说的 ， 既在A地又在B地的状态 。 而这里的系数a b就是波函数 。 这是一个位置的函数 ， 位置A的函数值是a ， 位置B的函数值是b（此处有归一化问题 ， 不严格） 。 这里只给两个位置赋了函数值 ， 你可以给所有位置都赋一个值 ， 就可以得到一个连续的函数 ， 比如高斯函数 ， 正弦函数等等 。
如果你擅长向量空间 ， 那么我们可以把一个向量用不同的基向量下的坐标表示（高中有学么？没有的话百度百科一下 ， 不难） 。 上面我们用的基向量是有确定位置的态（术语是位置本征态） ， 你也可以用别的基向量 ， 比如有确定动量的本征态 。 用群论可以证明 ， 这两个本征态之间的变换就是傅里叶变换 ， 这句话的意思就是说 ， 有确定动量的态的波函数是一个简谐波（正弦波余弦波这种） 。 你现在也许没法证明 ， 事实上本科生也基本上是把这个当结论 。 这个波 ， 就是德布罗意说的波粒二象性的波 。 一个粒子以确定的动量运动 ， 它同时也是一个简谐波 。
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