*** 叠加态与可测量 ***
说了这么多波函数 ， 那么“叠加态”究竟是什么意思呢？为什么质点可以同时存在于两个地方呢？理解量子力学 ， 这一步很重要 。 我们要重新审视一些命题 ， 比如说“质点在位置A” 。 在量子力学的语境里 ， 质点的位置是个可测量 ， 而一个可测量的值并不总是确定的 。
在经典力学里 ， 你可以构造一个相空间的函数 ， 对于每一个状态 ， 输出它的位置 ， 这个位置对于该状态来说是确定的 。 在量子力学的相空间 ， 只有位置本征态有确定的值 ， 而它们的叠加没有 。 一个任意的态 ， 它的位置 ， 或任何其它可测量 ， 只有“平均值” ， 做平均的权重就是波函数的平方 。 你可以证明 ， 这样取的平均值 ， 是符合经典力学的方程的 ， 也就是说经典力学里我们理解的可测量 ， 其实都是量子里的“平均值” 。 那么用“平均值”来描述理论 ， 是否不严谨呢？不 ， 事实上 ， 如果你不做特定可测量的测量 ， 叠加态的演化是可以严格写出的 ， 不需要任何的取平均 ， 我们取平均 ， 只是为了能和经典的结论作比较 ， 应该说在量子的级别上 ， 取平均是一件多余的事 ， 是为了使用一些经典概念而强加于这个理论的操作 。 这就是“可测量”这个概念在量子世界的纠结之处 。 进而 ， “测量”这个过程也变得纠结起来 ， 这个后面说 。
*** 时间演化 ***
量子态的时间演化 ， 没什么好说的 ， 就是薛定谔方程 。 这个方程和经典力学里的哈密顿方程非常非常相似 ， 区别几乎就是对相空间结构和哈密顿量的本质做了重定义 。 这个你暂时不会有体会 。
值得一提的是 ， 薛定谔方程是“酉”的 ， 意思就是在演化过程中没有信息丢失；换句话说 ， 你能从更早的时间的态推导出较晚时间的态 ， 由于没有信息丢失 ， 通过该方程 ， 你也可以反着推 ， 从较晚的态推导出更早的态 ， 和经典力学里一样 。 这个特征杜绝了“随机性” ， 因为如果随机事件发生了 ， 那么就会有信息丢失 ， 你就不可能进行反推 。
没有随机性？你一定认为我疯了 。 但这就是薛定谔方程的结论 。 那么人们说的随机性是哪来的？下面就说 。
*** 量子测量 ***
之前说到了“平均值” ， 既然有平均值就有概率分布 ， 那么这个概率是什么呢？
如果我们让一个态按薛定谔方程做演化 ， 它不会管你可测量有什么值 ， 你永远只能算平均值 ， 即使知道一个用于计算的概率分布 ， 你似乎也无法检测那个概率 ， 毕竟这个态永远不会演化成有某个特定测量值的态 。 也就是说这个概率分布只是用来计算出一个平均值以拟合经典结果用的 ， 没有概率本身的意思 。
但是 ， 有一种过程 ， 叫测量 ， 它可以强行告诉你一个态的测量值 。 为什么呢？因为它可以让这个态坍缩到某一个测量值的本征态（就像向量的投影） 。 坍缩到哪个本征态呢？按照之前说的概率——波函数的平方 ， 此时才把它当做一个概率来用 。 因此你会得到 ， 这样一个测量过程能够得到的值 ， 的平均值 ， 正是我们之前算的那个符合经典力学的平均值 。 注意：这两个平均值的含义不同 。 测量的平均值是只有测量的时候才能得到的测量结果的平均值；而之前算的平均值是测量不测量都存在的 ， 每个态都有的性质 ， 并且其变化遵守经典力学 。
是的！有两种不同的过程 。 一种是演化 ， 它遵循薛定谔方程 ， 它没有随机性；一种是测量 ， 它以波函数的平方为概率进行态的坍缩 ， 有随机性 。
这就是哥本哈根学派的量子力学诠释 。 实验证实了这种诠释 ， 如果你看过很多量子力学的科普 ， 也许会看到“贝尔不等式” ， 那个就是对它的实验证实 。
那么两种过程的界限是什么呢？意识 。 很多人认为 ， 只有人的意识参与了过程 ， 才产生测量 。 比如薛定谔的猫 ， 如果人不看一眼盒子里 ， 猫是出于生与死的叠加态的；只有用人的意识观测过 ， 猫的态才会坍缩到生死确定的态 。
哈哈 ， 这种观点出来后 ， 可算让民众多了不少茶余饭后的谈资 。 多新鲜 ， 原来科学最后也变成了唯心主义 。
后续的发展 ， 我不能很确定的说 ， 因为我不是这个方向的（量子信息） ， 而且你现在的知识储备就更难理解了 。 只能告诉你 ， 以上对“测量”的看法作为谈资可以 ， 严肃的科学应该已经不采取这个思路了 。
*** 关于名字“量子” ***
讲了这么多理论基础 ， 怎么都没有讲到“量子”的意思？不是说量子力学里什么都是一份一份的嘛？其实这么说不准确 。 如果单看非相对论量子力学 ， 有很多东西都是非量子化的 ， 只有“束缚态”有量子化现象 。 束缚态就是粒子在一个势里面 ， 由于能量的不足 ， 空间上受到束缚 。 这样的状态下 ， 解微分方程可以得到的解往往是离散的 ， 就好像两端固定的弦有离散的可取的波长一样 ， 或者像四周固定的鼓有特定的一些离散的频率一样 。 量子化这个现象本身 ， 是微分方程理论就可以得出的 ， 只是量子力学引入了“波函数”概念 ， 把态的方程变成了波函数的微分方程 ， 因此才“变出了”量子化 。
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