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狭义相对论力学，探索四维时空中的守恒性( 三 )

相对论 洛伦兹

有时代替坐标时间t ， 并定义相对论动量p为

因为我们已经知道

我们可以把p用坐标时间表示为

它会通过洛伦兹变换在不同的惯性系之间变换 。 重要的是 ， 这意味着和牛顿动量不同 ， 相对论动量在所有惯性系中都是守恒的 。
相对论动能
粒子的动能是它由于运动而拥有的能量 。 在牛顿力学中 ， 质点m以速度v运动的动能定义为使质点从静止加速到速度v所做的功 。 做的功W等于力F乘以力作用的距离 ， 也就是

牛顿第二定律将力与质量和加速度联系起来F=ma 。 所以我们可以说所做的功是为

加速度是速度相对于时间的变化率 ， 我们可以把它代入上面的方程来得到

用链式法则可以写成

v_1是粒子在距离s_1处的速度 。 v_0是粒子距离s_0处的速度 。 因此积分得到
因为我们把动能定义为使粒子从静止加速到最终速度v所做的功 ， 而v_0=0并且动能为

因为牛顿动量p = mv ， 我们可以重写一下功的计算公式

其中p_0和p_1分别是粒子的初始动量（= 0）和最终动量（=mv_1） 。 这给了我们一种方法来找到相对论动能 。 这给了我们一种找到相对论动能的方法 ， 即用相对论动量代替牛顿动量

我们可以先用分部积分法求这个积分

然后 ， 我们需要在第二项上使用代换积分法 。 首先 ， 提出常数m

让



把s替换为

得到：

这意味着我们现在可以写出

然后 ， 右边项的顶部和底部乘以

让所有的东西都有一个公分母

让v_1=v ， 我们知道粒子从静止开始加速 ， 因此 ， 我们最终得到了质量为m的粒子以速度v运动的相对论动能的方程：

γ是洛伦兹因子 。 这看起来和牛顿动能方程很不一样 。 然而 ， 使用泰勒定理可以展开洛伦兹因子

因此

在牛顿系统中v＜＜c ， 因此忽略平方和更高次项 ， 得到

所以在低速时 ， 相对论动能近似于牛顿动能 。
总相对论能量
如果我们重新排列相对论动能的方程 ， 可以写出

现在我们有了一个方程 ， 它给出了一个粒子在惯性系中的总相对论能量E 。 总相对论能量由粒子的相对论动能加上第二项mc^2组成（粒子的质能） 。 它可以在理论上被证明 ， 并且已经在实验上被证实 ， 在没有外力作用的情况下 ， 总的相对论能量在所有惯性系中是守恒的 ， 无论质量或动能是守恒的 。 在高速粒子碰撞中 ， 例如 ， 质量 ， 动能 ， 甚至粒子的总数可能不守恒 ， 但系统的总相对论能量会守恒 。
若粒子静止 ， 则洛伦兹因子减小为1 ， 并且

这是爱因斯坦著名的质能方程 ， 该方程表明 ， 质量和能量在某种意义上是相等的 ， 即使在静止状态下 ， 粒子仍然会因为其质量而拥有能量 。 显然 ， c^2是一个很大的数 ， 所以少量的质量产生大量的能量 。
四维动量
如果我们把四维速度乘以一个粒子的静止质量m ， 就得到另一个四维矢量 ， 叫作四维动量：

回想一下四维速度的定义

然后乘以m就得到

而E=γmc^2是相对论总能量 ， 并且p=mγv是相对论动量的方程 。 我们可以看到mcγ是总相对论能量除以光速 ， 因此四维动量可以重写为

四动量提供了一个粒子的相对论总能量（它的时间分量）和相对论动量（它的空间分量）的完整描述 。 Schutz
总结了这一点 ， 他说粒子的四动量是一个矢量 ， 在某个坐标系中的分量给出了粒子相对于那个坐标系的能量和动量 。 正如我们以后会看到的 ， 所有重要的能量-动量张量 ， 即爱因斯坦场方程的右边和时空曲率的来源 ， 实际上是四维动量单位面积上的流速的度量 。
四维力
牛顿第二运动定律说 ， 作用在物体上的力等于物体动量的变化率

我们可以把它推广到狭义相对论 ， 定义四维力为四维动量的变化率

它展示了自由粒子如何在弯曲时空中运动 。
能量动量关系
四维速度的标量积为：

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