数学家发现了用于理解混沌系统的工具，对科学具有深远的影响

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1885年，瑞典国王奥斯卡二世宣布了一项由四个数学问题组成的公开挑战。法国博学多才的亨利庞加莱关注的是一个与天体运动有关的问题，即所谓的n体问题。太阳系会永远保持它的顺时针运动吗？这些行星是会飞向虚空，还是会坍塌成一个炽热的太阳？
庞加莱研究表明至少有一些系统，比如太阳、地球和月球，是稳定的，他赢得了这个著名的奖项，并在1889年出版了一篇相关文章。不幸的是，他的解决方法是错误的。
庞加莱承认了他的错误，并花钱销毁了他的解决方案的副本（花费超过了奖金）。一个月后，他提交了修改后的版本。他现在看到，即使是一个只有三个物体的系统，其行为也可能不可预测，太混乱而无法建模。于是动力系统领域出现了。
就我们的目的而言，动力系统只是一个函数，其可能的输出也可以是输入。这允许我们重复插入函数的输出，允许行为的进化。正如庞加莱的研究所显示的，这个简单的前提可以产生如此复杂和随机的例子，它被称为混沌。
在大约70年后，有一种优雅的方式可以理解庞加莱的结论，并为混沌带来一些秩序。在才华横溢的年轻拓扑学家（菲尔兹奖得主）斯蒂芬·斯梅尔写完他的第一篇关于动力系统的文章后不久，他收到了一封信，信中他发现了一个相对简单且普遍存在的函数，可以解释庞加莱在三体问题中观察到的混沌现象。斯梅尔称之为马蹄铁。
为了理解它，让我们从一个简单的动力系统的例子开始，它不是混沌的。假设你想用一个简单的计算器计算根号2 。有一种叫作牛顿法的方法，你应该从任意一个猜想开始，比如说3 ，然后把它代入函数

输出f(3) = 1.8333333 ，比输入更接近真实值。为了更接近函数，将输出插入到函数中：f(1.8333333) = 1.4621212 。再这样做三次，得到1.4142136 ，这可能是计算器准确度的极限。
把第六次近似写成

记作

我们称无限的输出序列为x的“轨道” 。把每次迭代看作是时钟的滴答，把轨道看作沿着数轴跳动，接近根号2 。

在这个例子中，我们称根号2为一个吸引不动点：一个不动点是因为它产生了固定的轨道

而吸引是因为，像黑洞一样，它会吸进附近点的轨道。但是，并不是所有的动力系统都表现出如此简单和可预测的行为。一个动力系统的轨道可以周期性地通过有限的一组点，或者向无限延伸，或者没有明显的顺序。
为了理解这些概念（它们是混沌系统的核心），考虑一个特别具有启发性的例子，称为帐篷映射， T ，定义为x在0到1之间的值。就像糖果制作者拉太妃糖一样，它把这个间隔拉长到原来长度的两倍，对折，然后回到原来的间隔。这意味着0和1都映射到0 ， 1/2映射到1 。因为帐篷映射产生的值也在0到1之间，所以它

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