信号分析之父—傅里叶，热力学研究中得出傅里叶变换，改变了世界( 二 ) _傅里叶

使方波的近似值更准确。
傅里叶甚至以积分的形式给出了表示一般条件f(x)的系数a_n和b_n的一般公式，

在对三角函数的幂级数的展开进行了漫长的探索之后，他意识到有一种更简单的方法来推导这些公式。如果取两个不同的三角函数（比如cos2x和sin5x），把它们相乘，然后从0到2π积分，结果是0 。但是如果它们相等，假设它们都等于sin5x ，它们乘积的积分就不为零（它是π）。假设f(x)是一个三角级数的和，所有的项都乘以sin5x ，然后积分，所有的项都消失了，除了对应sin5x的项，也就是b_5sin5x 。这里的积分是π 。除以这个，就得到了b_5的傅里叶公式，其他系数也是一样的。
尽管获得了诺贝尔奖，但傅里叶被严厉批评不够严谨。傅里叶被激怒了。物理直觉告诉他，他是对的。真正的问题是，欧拉和伯努利已经就波动方程的一个类似问题争论了很长时间，热量随时间呈指数扩散被无穷的正弦振幅所取代。基本的数学问题是相同的。事实上，欧拉已经发表了波动方程中系数的积分公式。
然而，欧拉从未声称该公式适用于不连续函数，这是傅里叶研究中最具争议的地方。小提琴弦模型没有包含不连续的初始条件。但是对于热量来说，很自然地可以考虑将一个金属棒的一个区域保持在一个温度，而将相邻区域保持在另一个温度。在实际应用中，过渡过程是平滑且陡峭的，但采用不连续模型比较合理，计算起来也比较方便。事实上，热方程的解解释了为什么当热量向两边扩散时，过渡会迅速变得平滑和陡峭。
数学家们开始意识到无穷级数是“危险的野兽” 。最终，这些复杂的问题得到了解决。 1822年，傅里叶出版了他的著作《热分析理论》。

我们现在知道，尽管傅里叶是正确的，但他的批评者有充分的理由担心其严谨性。傅里叶分析很好，但仍有一些问题。
问题是，傅里叶级数何时收敛于它所代表的函数？也就是说，如果取越来越多的项，函数的近似值会更好吗？就连傅里叶也知道答案并非总是如此。例如，在温度跳跃的中点，方波的傅里叶级数收敛——但收敛到错误的数值0 ，但方波的值为1 。
对于大多数物理问题来说，改变函数在一个孤立点上的值并没有太大的关系。它只是在不连续点稍有不同。对傅里叶来说，这类问题并不重要。但是收敛问题不能如此轻率地忽略，因为函数的不连续性可能比方波复杂得多。
然而，傅里叶声称他的方法适用于任何函数，所以它应该适用于这样的函数：当x是有理数时f(x) = 0 ，当x是无理数时f(x) = 1 。这个函数处处不连续。对于这样的函数，当时，积分的含义还不清楚。这就是争议的真正原因。没有人定义过积分是什么。甚至没有人定义过函数是什么。即使你能把这些漏洞补上，这也不仅仅是傅里叶级数是否收敛的问题。真正的困难是要弄清楚它在什么意义上是收敛的。
解决这些问题很棘手：

它需要一个新的积分理论，由亨利·勒贝格提出；
从集合论的角度重新构建数学的基础，由乔治·康托尔开创；
从黎曼等杰出人物那里获得了重要的见解，运用了20世纪的抽象概念来解决收敛问题。

最终的结论是，通过正确的解释，傅里叶确实解出了热方程。但它真正的意义要广泛得多，除了纯数学之外，主要的受益者不是热力学，而是工程学，特别是电子工程。
在最一般的形式中，傅里叶方法表示一个信号，由函数f决定。这叫做波的傅里叶变换。它用频谱来代替原始信号：这是一组正弦和余弦的振幅和频率，用不同的方式对相同的信息进行编码。
这种技术的一个应用是设计抗震建筑物。典型地震所产生的振动的傅里叶变换揭示了地震的能量频率。建筑物有它自己的固有振动模式，它会与地震发生共振，也就是说，反应异常强烈。因此，建筑抗震的第一步是确保建筑的首选频率与地震的频率不同。地震的频率可以通过观测得到；而建筑物的频率可以用计算机模型计算出来。
这只是傅里叶变换在“幕后”影响我们生活的诸多方面之一。傅里叶变换已经成为科学和工程中的常规工具；它的应用包括从声音记录中去除噪音；利用x射线衍射发现DNA等大型生物化学分子的结构；改善无线电接收，处理从空中拍摄的照片。在这里，我只关注数千种日常应用中的一种：图像处理。