傅里叶变换在图形处理中的应用
傅里叶变换是如何处理图片 ， 并且不影响图片的清晰度的？
答案是数据压缩 。 其中一些处理是“无损的” ， 这意味着如果需要 ， 可以从压缩版本中检索原始信息 。 这是必要的 ， 因为大多数真实世界的图像都包含冗余信息 。 例如 ， 大块的天空通常都是相同的蓝色 。 不需要一遍又一遍地重复蓝色像素的颜色和亮度信息 ， 这样就可以存储一个矩形的两个对角的坐标和几行简短的代码（将整个区域涂成蓝色） 。
人眼对图像的某些特征不是特别敏感 ， 而这些特征可以在大多数人都没有注意到的情况下以更粗的尺度记录下来 。 以这种方式压缩信息很容易 ， 但不可逆（信息丢失） 。
有些相机把图像保存为JPEG文件 ， 它表示使用了一种特定的数据压缩系统 。 用于处理和打印照片的软件 ， 如Photoshop ， 能够解码JPEG格式并将数据转换回图片 。 我们经常使用JPEG文件 ， 很少有人知道它们被压缩了 ， 更少的人想知道这是怎么做到的 。
傅里叶分析已经成为工程师和科学家必备技术 ， 但对于某些目的 ， 这项技术有一个主要的缺点：正弦和余弦有无穷项 。 当傅里叶的方法试图表示一个紧凑的信号时 ， 它遇到了问题 。 它需要大量的正弦和余弦来模拟一个局部的光点 。 问题不在于得到光点的基本形状 ， 而是让光点之外的一切都等于零 。 你要做的是添加更多的高频正弦和余弦来抵消不需要的信号 。 所以傅里叶变换对于光点信号是没有用的：变换后的信号比原始信号更复杂 ， 需要更多的数据来描述它 。
选择正弦和余弦是因为它们满足一个简单的条件 。 形式上 ， 这意味着它们是正交的 。 将两个基本正弦波形相乘 ， 并在一个周期内积分 ， 可以衡量它们之间的关系有多密切 。 如果这个数很大 ， 它们就非常相似；如果它是零（正交的条件） ， 它们就是独立的 。
傅立叶分析之所以有效 ， 是因为它的基本波形既正交又完整 ， 而且如果适当地叠加 ， 它们足以表示任何信号 。 实际上 ， 它们在所有信号的空间中提供了一个坐标系统 ， 就像普通空间中的三维坐标系统一样 。 主要的新特性是现在有无限多个轴：每个基本波形都有一个轴 。 一旦你习惯了 ， 在数学上就没有问题 。
不难发现 ， 在无限维的信号空间中 ， 存在着不同于傅里叶的坐标系 。 在整个领域中最重要的发现之一是一种新的坐标系统 ， 其中基本波形被限制在一个有限的空间区域内 。 它们被称为小波 ， 可以非常有效地表示光点 ， 因为它们就是光点 。 小波的光点特征使其特别适合于压缩图像 。 它们最早的大规模实际应用之一是存储指纹 。 此外 ， 小波在医学成像方面也有许多应用 。 事实上 ， 小波几乎无处不在 。 地球物理学和电气工程等领域的研究人员都将这些技术应用到自己的领域 。
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