高斯发现了自然对数与素数之间的关系后，数论大门出现了曙光( 二 ) 大门

孪生素数

孪生素数是指一对差为2的素数，如(35) ， (57) ， (1113) ， (1719) ， (2931) ， …孪生素数在数轴上越来越稀疏。维戈·布伦在1915年证明了孪生素数的倒数和是收敛的。相比之下，素数的倒数和是发散的。
孪生素数的猜想是：存在无限多对孪生素数。尽管张益唐、梅纳德和陶哲轩等数学大师一直在研究孪生素数猜想，并在取得了一些突破，但这个猜想仍未被证明。
目前而言，我们已经清楚孪生素数的一些基本性质，例如，关于素数的威尔逊定理说，当且仅当4（p-1）！+p+4能被p（p+2）整除时， p和p+2是孪生素数对。
即上述条件是p和p+2为孪生素数对的充要条件。例如，孪生素数对(57) ，根据上面的条件是35除105 ，结果是3 ，显然成立。

上面的条件可以用模运算的符号写得更简洁：4((p-1)!≡-p (mod p(p+2)) 。

孪生素数还有一个非常有趣的条件。
对于所有的自然数n和m ，当且仅当 k ≠ 6nm ± n ±m时， 6k±1均为素数（因此是孪生素数）。
相差2的素数叫作孪生素数。相差4的素数叫作表亲素数，相差6的质数称为性感素数。 1849年，法国数学家波林那克推测，对于每个自然数k ，有无限多个素数p ，使得p + 2k也是素数。这显然是孪生素数猜想（k=1）的一个推广。
另一个被称为为第一哈代-李特伍德猜想（first Hardy-Littlewood conjecture）的是由两位杰出的数学家哈代和李特伍德提出的。这个猜想是，
设τ（x）是素数p≤x的个数，并且p+2也是素数，那么存在一个常数C（称为孪生素数常数），使得

这有点像素数定理，只是对象是孪生素数。这自动引申出了另一个问题，能否把第一哈代-李特伍德猜想推广到表亲素数和性感素数，乃至更一般的情况。
答案是肯定的，但它附带了一个重要的条件。让我们先看看结果。
P和P + 2k是一对素数，当且仅当P (P + 2k)能整除2 k (2 k) !((p?1)!+ 1) + p (2k)!?1) ，且gcd(p (2k)!) = gcd(p + 2k (2k)!) = 1 。
这里gcd(n m)表示n和m的最大公约数， gcd(n m) = 1表示n和m是互质的。
结论是，这个条件是必要而不是充分的。当条件满足时，我们不能确定p和p + 2k都是素数。有时满足这个条件但不是素数的数被称为伪素数。
【高斯发现了自然对数与素数之间的关系后，数论大门出现了曙光】我相信孪生素数猜想是能被证明的，但何时能被证明还很难说。也许我们需要另一个黎曼出现。