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素数（质数）之于整数就像原子之于分子 ， 在这个意义上 ， 每一个大于1的整数都可以写成质数的唯一乘积形式 。
素数
素数是大于1的正整数 ， 不能写成两个较小的正整数的乘积 ， 如2 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11 ， …
2300年前 ， 欧几里得证明了素数有无穷多个 ， 这是一个具有里程碑意义的证明 。 自那时起 ， 人类对素数的研究就从未停止过 。 纵观历史 ， 数学家们一直为表面上看似容易的难题所困扰 。 正如我们将在本文中看到的 ， 有些质数比其他质数更特殊 。
当伟大的数学家卡尔·弗里德里希·高斯十几岁的时候 ， 他得到了一本包含对数表的书 。 那个时候 ， 对数表真的很方便 ， 在某种程度上相当于现代的计算机 。 高斯对这些值非常熟悉且敏感 。
在开始本文的主题之前 ， 让我们先回顾一下什么是自然对数饿 。 在18世纪 ， 欧拉定义了数字e≈2.718281828…下面的公式可以让你得到e的任意精度的值 ，
e是一个非常重要的数 ， 我们都知道以e为底的指数函数的性质：d/dx f(x) = f(x) 。 对数函数ln（x）是e^x的反函数 。 对数最重要的性质是ln(xy) = ln(x) + ln(y) ， 也就是说 ， 我们可以把乘积问题转化为求和问题 ， 使问题更简单 。
高斯研究了自然对数的值 ， 他还有一本关于数论的书（尤其是关于素数的） 。 年轻的高斯灵光一闪 ， 发现了他的两本书之间的联系 。 他看到了自然对数和素数之间的联系 。 高斯的发现是 ，
定义质数计数函数π(x)为小于等于x的质数的个数 ， 例如 ， π(10) = 4 ， 因为有4个小于等于10的质数（2、3、5和7） 。 高斯注意到 ， 函数x/ln(x)和π(x)似乎随着x的增大以相同的速度增长 。
更准确地说 ， 高斯推测π(x) ~ x/ln(x) ， 这意味着当x趋于∞时 ， π(x) / (x/ln(x))趋于1 。
后来 ， 高斯发现了π(x)的一个更好的近似 ， 即1/ln(t)从2到x的积分 。 如下图所示 ，
1859年 ， 高斯的一个学生 ， 波恩哈德·黎曼 ， 发表了数论中最重要和最有影响力的论文之一 。 这篇短小的文章 ， 激发了一个全新的主题 ， 给当时的数学家们提供了一个研究素数分布的新工具 。 这个工具现在被称为黎曼zeta函数 ， 它用希腊字母ζ表示 。
对于Re(s) > 1 ， 我们可以通过以下无穷级数定义黎曼zeta函数：
Re（s）表示复数s的实部 。
黎曼的思想是 ， 用复数作为这个函数的参数 。 zeta函数已经为当时的人所熟知 ， 在黎曼之前 ， 欧拉和切比雪夫对其进行了深入的研究 ， 但都是以实数为参数 。 欧拉发现了这个函数和质数分布之间的联系 ， 但他没有发现 ， 真正的联系隐藏在另一个维度中（复数） 。
事实证明 ， 解开这种联系的关键是复数 。 黎曼发现 ， 如果有人能证明：对于所有实部为1的复数（Re(s) = 1） ， zeta（s）≠0 ， 高斯在15岁时所做的关于对数和质数的猜想就能成立 。
在研究这些所谓的zeta函数的非平凡零点时 ， 黎曼发现最初的几个零点位于复平面上的一条直线上 ， 即Re(s) = 1/2这条直线 。 但对于高斯猜想来说 ， 只要证明当Re(s) = 1时 ， zeta（s）≠0就足够了 。
这个结果现在被称为素数定理 。 素数定理描述了正整数中素数的渐近分布 。 它通过精确量化质数出现的速率 ， 形成了质数越大 ， 质数就越不常见这一直观观点 。 1896年 ， 阿达马和德·拉·瓦莱布桑利用黎曼的思路 ， 各自独立证明了素数定理
实际上 ， 当临界带0<a<Re(s)<b<1向Re(s) = 1/2方向不断缩小时 ， 素数定理会得到相应的改进 。 因此 ， 黎曼猜想是关于素数计数函数的一种终极表述 。 这就是为什么它如此重要 。
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