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广义相对论的核心是爱因斯坦场方程 ， 在求解空间均一且各向同性的膨胀宇宙模型时 ， 可以将这10个爱因斯坦场方程简化为只有两个方程 ， 称为弗里德曼方程 。 其中一个方程如下图所示 。
字母a被称为比例因子 ， 它代表了宇宙的大小 ， 更为准确的是将其视为星系之间的平均距离 。 弗里德曼方程还告诉我们a如何随时间变化 ， a上面带一点就是a对时间的导数 ， 它代表了宇宙的膨胀速度 。
让我们先把目光停留在等号的左边 ， 事实上它是一个能量方程 。 左边第一项类似于膨胀的动能 ， 但这种动能被左边第二项能量的引力效应所抵制 ， 其中ρ是宇宙的物质密度 。 所以第二项代表了宇宙自身减速的能力 ， 类似于引力势能 。 这两个类似能量的术语之间的平衡将告诉我们宇宙的命运 ， 它有几种可能性 。
如果膨胀的动能和坍缩的势能完全平衡 ， 那么宇宙将会停止膨胀并不会缩小 。 在这种情况下 ， 等式的左边刚好等于
很长一段时间 ， 科学家认为宇宙最终的命运在于宇宙的密度ρ 。 所以几十年来 ， 天文学家一直在努力测量宇宙大范围内物质和暗物质的质量总和 。 事实证明 ， 宇宙的密度太低了 ， 只有扭转膨胀所需密度的四分之一 。 因此 ， 弗里德曼方程的左边项是正的 ， 宇宙将永远膨胀 。
但是请等等 ， 我们还没看看等式的右边项 。 根据上述推论 ， 我们知道它应该也为正数 。 但是 ， 右边项所描述的东西与左边项完全不同 ， 它描述了空间的形状（曲率） 。 根据弗里德曼的第一个方程 ， 宇宙的命运由膨胀和密度决定 ， 本质上也应该与它的形状有关 。 然而 ， 我们将看到方程的左右两部分之间的不匹配 。
宇宙的形状等式右边项描述了空间的曲率 ， 它取决于k值 ， k在某种意义上是宇宙的形状 ， k可以是+1、-1或0 。
k等于+1 ， 这意味着宇宙具有正曲率的空间几何形状 ， 宇宙瞬时的空间快照将像球体表面一样弯曲 。 在这样的宇宙中 ， 几何会变得很奇怪 ， 例如三角形的内角和超过180度 。 这样一个宇宙的总空间体积是有限的 ， 我们称之为封闭几何 。 如果k等于-1 ， 则宇宙是负弯曲的 。 同样几何也会很奇怪 ， 三角形内角和小于180度 。 这样的宇宙是无限大的 ， 或者说是开放的 。 k如果等于0 ， 意味着宇宙是平的 。 一个平坦的宇宙在三个空间维度上仍然是无限的（开放的） 。
因此 ， 当我们测量宇宙的密度时 ， 这给了我们一种独立验证方程左侧结果的方法 。 方程左侧等于右侧 ， 所以宇宙的命运应该与宇宙的形状有关 。 一个过密的、会重新收缩的宇宙应该有一个球形的几何形状 。 一个低密度、无限膨胀的宇宙应该是负弯曲的 。 一个密度正好合适的宇宙 ， 它不膨胀也不收缩 ， 应该是平坦的 。
宇宙微波背景辐射可以让我们检验宇宙的形状 。 对其上特征大小的观察使我们能够验证宇宙中最大三角形的角度 ， 加起来刚好等于180度 。 这是一个平坦的欧几里得宇宙的直线几何 ， 平坦到0.4%以内 。 因此方程的右侧必须非常接近于零 ， 而左侧却是严格地大于零 ， 显然两者之间不匹配 。
宇宙常数那么是爱因斯坦广义相对论错了吗？当我们试图通过场方程简化为弗里德曼方程来描述宇宙时 ， 我们错过了一些东西：宇宙学常数 。 这个常数可以解决弗里德曼方程和几何的这个小问题 。
当我们推导出包含宇宙学常数的弗里德曼方程时 ， 我们最终会在方程左侧得到这个额外的东西 。 假设宇宙学常数为正 ， 这会帮助方程左侧的结果降低为零 ， 从而使宇宙变为平坦 。 因此 ， 即使密度仍然太低而无法逆转膨胀 ， 但有了这个新的项 ，
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