一个让人烦恼的概念：无穷，旅馆悖论诠释了无穷到底有多离奇
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日常生活中 ， 我们总是会与各种数量打交道 ， 比如说“某种物品到底有多少个” 。 现实的情况是：不管物品的数量有多少 ， 总是有上限的 。 也就是说 ， 我们可以用具体的数量来描述物体的数量 。
这表明：我们生活在一个有限的世界里 。
但在数学概念里 ， 存在一个让人感到烦恼甚至不愿意接受的概念：无穷 。 不仅仅是普通人 ， 伟大的数学家有时候对于无穷的概念也“束手无策” ， 以至于在主观上人们很难接受无穷的诡异存在 。
而且 ， 如果我们的宇宙是无限大的 ， 那肯定意味着在宇宙某个角落 ， 一定存在于一模一样的你和我 ， 一模一样的地球和太阳 ， 一模一样的银河系......
这种情况肯定会让人疯狂 ， 这也是为什么科学家认为我们的宇宙并不是无穷大的 ， 而又有限大的 。 因为我们很难直观地去描述无限的宇宙 ， 对于我们来讲 ， 有限的宇宙才是最合理的 ， 也是可以想象出来的 。
但正如上面所说 ， 无穷的确存在 ， 起码数学概念里无穷是真实存在的 ， 无穷的存在也很好理解 ， 连小孩子都明白 。
比如说 ， 最简单的自然数 ， 从1开始往下数 ， 你肯定数不到尽头 ， 不存在一个最大的数 ， 这就是无穷的概念 。
平时我们能够用到的数 ， 基本上就停留在亿或者兆的层面 ， 很难用到更大的数 ， 但亿和兆在无穷面前显得太渺小了 。
与有限的数不同 ， 无穷也很容易带来让人不太容易理解的“悖论” 。 最简单直观的“悖论”是这样的：
我们都知道自然数指的是：1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6… ， 一直没有尽头 。 而偶数包括2 ， 4 ， 6… ， 剩下的是奇数 。
自然数包含了偶数与奇数 ， 按常理讲 ， 自然数肯定比偶数要多 ， 应该是偶数的两倍多才对 。 但事实上并非如此 ， 自然数与偶数是一样多的 ， 两者都有无穷多个数 。
很容易证明这点 ， 因为每一个自然数都有相应的偶数与之对应 ， 把自然数都乘以2 ， 得到的都是偶数 。
1对应2 ， 2对应4 ， 3对应6 ， 4对应8......
表面看起来自然数应该比偶数多 ， 因为自然数还包含了奇数 ， 但实际上两者是一样多一样大的 。
而且随着人们对无穷的不断深入研究 ， 发现了更多让人苦恼的“悖论” ， 比如说希尔伯特旅馆悖论：
这个悖论是这样的：
【一个让人烦恼的概念：无穷，旅馆悖论诠释了无穷到底有多离奇】假如有一个拥有无穷多房间的旅馆 ， 旅馆已经住满了人 ， 是不是还能让人入住呢？
理论上是不能再入住人的 ， 因为旅馆已经住满了 。 但实际上完全没有问题 ， 可以这样操作 。
因为旅馆拥有无穷多个方面 ， 意味着房间数量没有尽头 ， 不会存在“最后一间房” ， 即使存在最后一间房 ， 旅馆仍旧是住满的 。
但只需要让1号房间的旅客搬到2号房间 ， 2号搬到3号 ， 以此类推 。 因为不存在最后一间房 ， 意味着所有旅客都可以搬到下一个房间 。 如此操作下去 ， 1号房间就被空出来了 ， 就可以让新来的旅客住进来了 。
所以 ， 即便是旅店已经注满客人了 ， 仍旧可以让新的旅客入住 。
从数学上理解就是：无穷加任何数都等于无穷 ， 无穷+无穷还等于无穷 ， 而无穷减无穷结果可以是任何数！
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