I0= G倾m/r03
上式就是倾向力场和质量之间的关系式 。
倾向力场和倾向力的关系方程
对于空间中两个微元质点a和b , 设二微元质点质心间的距离为r 。
微元质点a在被微元质点b所占据空间内各点的当量密度场 , 如下图所示:
图8 同性微元质点b受到微元质点a施加的当量密度场示意图
微元质点a对微元质点b施加的倾向力场示意如下图:
图9 微元质点b球面某点受到微元质点a对其施加的倾向力场在法线和切线方向上的分力示意图
图10 微元质点b球面c1和c2点受到微元质点a施加的倾向力场对法线和切线方向上的分力示意图
设微元质点a和b的本征半径为r0 , 二者质心距离为r , 微元质点球面上c1点和c2点到微元质点a质心距离为r1和r2 。 r1和r之间的夹角为α , r2和r之间的夹角为γ , c1和c2到微元质点b质心的半径线和x轴的夹角均为β 。
可知:
r1=(r+r0cos(-β))/cosα=(r-r0cosβ)/cosα
α=arccos(((r+r0cos(-β))2+ r0sin2(-β))0.5)
r2=(r+r0cosβ)/cosγ
γ=arccos(((r+r0cosβ)2+ r0sin2β)0.5)
对于c1点 , 微元质点a对微元质点b施加的倾向力场:
Ic1 =G倾ma/r13
该倾向力场对微元质点b表面的法向作用力场:
Ic1法=G倾macos(β+α)/r13
图11 微元质点b球面c1和c2点受到a施加的倾向力场的法线倾向力场在微元质点b质心的x轴分力示意图
如上图 , 该法向作用力场对质心在x轴上的分力场:
Ic1心x= Ic1法cosβ/r13
同理 , 对于c2点 , 微元质点a对微元质点b施加的倾向力场:
Ic2 =-G倾ma/r23
式中负号表示c2点上的倾向力场在质心处的分力场与c1点处的相应分力场方向相反 。
该倾向力场对微元质点b表面的法向作用力场:
Ic2法=-G倾macos(β+γ)/r23
该法向作用力场对质心在x轴上的分力场:
Ic2心x= -Ic2法cosβ/r13
将Ic1心x和Ic2心x二分力场相加 , 得:
Ic合x=Ic1心x - Ic2心x
因该合力在c1点和沿y轴对称的c2点处的切割面为大小相等且对称的圆周 , 则该点状的合力场乘以半径为r0sinβ的圆周长2πr0sinβ , 即为过c1和c2两点的线合力:
Fc合线x=Fc合x(2πr0sinβ)
对该线合力在β=(0 , π/2)范围内积分 , 即得微元质点a对微元质点b施加的球面合力:
F合面=∫0π/2 Fc合线xdβ
该积分方程就是微元质点a和b之间相互作用力方程 。
倾向力场和倾向力关系的简化的关系方程
上述一般关系方程有点复杂 , 需要简化 。
图12 微元质点a在微元质点b球体内部c点处的切割面示意图
根据本假说关于倾向力场和当量密度半径的关系式:
I倾=G倾m/r当3
设在x轴上的c点处距离坐标原点o的值为x , 且x的值为绝对正值 , 则微元质点a在c点处的当量密度ρ当为:
ρ当=ma/V当=(3/(4π)ma/(r+x)3
当r>>r0时 , 设在微元质点b球体内 , ρ当在c点处沿y轴的截面圆内近似不变 , 则该截面圆的面当量质量:
ma面当=ρ当π(r02-x2)
ma面当=(3/4)ma(r02-x2)/(r+x)3
当c点位于微元质点b的右半球范围内时 , 对该m面当在x=(0 , r0)范围内积分 , 得到右半球的当量质量:
ma当右=∫0r0((3/4)ma(r02-x2)/(r+x)3)dx
设r+x=v , x=v-r则上式转换为:
ma当右=((3/(4))ma∫rr+r0((r02-(v-r)2)/v3)dv
=((3/4)ma∫rr+r0(((r02-r2)/v3)+(2r/v2)-(1/v))dv
=((3/4)ma|(r2-r02)/(2v2)-(2r/v)-ln|v|)|rr+r0
=((3/4)ma(((r2-r02)/2)(1/r2-1/(r+r0)2)-2+2r/(r+r0)+ln|(r+r0)/r|)
同理 , 当c点位于微元质点b的左半球范围内时 , 对左半球球体内在x=(0 , r0)范围内积分 , 可得到左半球的当量质量:
ma当左=∫0r0(((3/4)ma(r02-x2)/(r-x)3)dx
设r-x=u ,x=r-u , u=(r , r-r0)则上式转换为:
ma当左=-((3/4)ma∫rr-r0((r02-(r-u)2)/u3)du
=((3/4)ma(((r2-r02)/2)(1/(r-r0)2-1/r2)-2r/(r-r0)+2+ln|r/(r-r0)|)
该二半球的当量质量即为微元质点a对微元质点b球体的分作用力 。
因为该二半球对质心产生的作用力方向相反 , 因此需将二半球当量质量相减 , 得到等价于微元质点a对微元质点b产生的倾向作用力的半球当量质量差:
ma当半球差=ma当右-ma当左
ma当球=((3/4)ma((3r02/(r2-r02)-r04/(r4-r2r02)+ln|1-r02/r2|)
当r>>r0时 , 上式近似等于:
ma当半球差=(9/4)mar02/r2