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基数是什么意思 基数是什么意思通俗易懂


基数是什么意思 基数是什么意思通俗易懂

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大家好,小甜来为大家解答以下的问题，关于基数是什么意思通俗易懂 ， 基数是什么意思这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧！
1、在数学上，基数（cardinal number）是集合论中刻画任意集合大小的一个概念 。
2、两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合 。
3、例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，是两个对等的集合 。
4、概念根据对等这种关系对集合进行分类，凡是互相对等的集合就划入同一类 。
5、这样，每一个集合都被划入了某一类 。
6、任意一个集合A所属的类就称为集合A的基数 ， 记作|A|（或cardA) 。
7、这样，当A 与B同属一个类时，A与B 就有相同的基数，即|A|=|B| 。
8、而当 A与B不同属一个类时 ， 它们的基数也不同 。
9、如果把单元素集的基数记作1，两个元素的集合的基数记作2，等等，则任一个有限集的基数就与通常意义下的自然数一致。
10、空集的基数也记作0 。
11、于是有限集的基数也就是传统概念下的“个数” 。
12、但是，对于无穷集，传统概念没有个数，而按基数概念，无穷集也有基数，例如，任一可数集（也称可列集）与自然数集N有相同的基数，即所有可数集是等基数集 。
13、不但如此，还可以证明实数集R与可数集的基数不同 。
14、所以集合的基数是个数概念的推广 。
15、基数可以比较大小 。
16、假设A，B的基数分别是a，β ， 即|A|=a，|B|=β ， 如果A与B的某个子集对等，就称 A 的基数不大于B的基数，记作a≤β，或β≥a 。
17、如果 a≤ β，但a≠β（ 即A与B不对等 ），就称A的基数小于B的基数 ， 记作a<β，或β>a 。
18、在承认选择公理的情况下，可以证明基数的三歧性定理——任何两个集合的基数都可以比较大?。床淮嬖诩螦和B，使得A不能与B的任何子集对等，B也不能与A的任何子集对等 。
19、基数可以进行运算。
20、设|A|=a  ， |B|=β，定义 a+β=|{(a,0):a ∈ A} ∪ {(b,1):b ∈ B}| 。
21、另 ， a与β的积规定为|AxB|，A×B为A与B的笛卡儿积 。
22、扩展资料：基数算术我们可在基数上定义若干算术运算，这是对自然数运算的推广 。
23、给定集合 X 与 Y ， 定义 X+Y={(x,0):x ∈ X} ∪ {(y,1):y ∈ Y}，则基数和是|X| + |Y| = |X + Y| 。
24、 若 X 与 Y 不相交，则 |X| + |Y| = |X ∪ Y| 。
25、基数积是|X||Y| = |X × Y| ， 其中 X × Y 是 X 和 Y 的笛卡儿积 。
26、基数指数是|X|^|Y| = |X^Y|，其中 X^Y 是所有由 Y 到 X 的函数的集合 。
27、普通性质在有限集时，这些运算与自然数无异 。
28、一般地，它们亦有普通算术运算的特质：加法和乘法是可交换的，即 |X|+|Y|=|Y|+|X| 及 |X||Y|=|Y||X| 。
29、加法和乘法符合结合律，(|X|+|Y|)+|Z|=|X|+(|Y|+|Z|) 及 (|X||Y|)|Z|=|X|(|Y||Z|)分配律，即 (|X|+|Y|)|Z|=|X||Z|+|Y||Z|| = |X||Y|+|X||Z| 。
30、无穷集合的加法及乘法（假设选择公理）非常简单 。
31、若 X 与 Y 皆非空而其中之一为无限集，则|X| + |Y| = |X||Y| = max{|X|, |Y|}.记 2 ^ | X | 是 X 的幂集之基数 。
32、由对角论证法可知 2 ^ | X | > | X | ， 是以并不存在最大的基数 。
33、事实上，基数的类是真类 。
34、其他性质还有些关于指数的有趣性质：|X|^0 = 1 (很奇怪地 0^0 = 1) 。
35、0^|Y| = 0 若 Y 非空 。
36、1^|Y| = 1 。
37、|X| ≤ |Y| 则 |X||Z| ≤ |Y||Z| 。
38、若 |X| 和 |Y| 均为有限集且大于 1，而 Z 是无穷集，则 |X||Z| = |Y||Z| 。
39、若 X 是无穷集而 Y 是非空的有限集 ， 则 |X||Y| = |X| 。
40、参考资料：基数（数学术语）_百度百科 。
【基数是什么意思 基数是什么意思通俗易懂】本文分享完毕，希望对大家有所帮助 。

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