汽车迈出成为物理学大师的第一步，应该这样去求解物理学问题( 四 ) 机械

随着经验的积累，你会认识到圆柱体的对称性，这时你就可以不费吹灰之力从高斯定律到数学了。
使用守恒量尽管你可以用力和力矩来计算经典力学中任何东西的运动，从而计算出其他相关的量，但这样可能会很麻烦。如果你想知道一个从直线坡道上滚下来的球（没有打滑和空气阻力）在坡道底部的速度是多少，那么你可以使用力和力矩，即使工作量很大。

所有的力自始至终都是一样的。

那如果是弧形的坡道呢？你将不得不计算一个力的路径积分，这取决于位置的变化。
在最好的情况下，即使你得到了一个解，也会花费非常多的时间。相反，寻找守恒量可以让你迅速得到一个正确的答案。在物理学问题中，最常见的三个守恒量是

线性动量：系统上没有净外力意味着总的线性动量是守恒的。
总机械能：系统中的物体没有空气阻力、滑动、摩擦或损坏，可能意味着系统的总机械能是守恒的。用更专业的术语来说，如果每一个点上的所有力都形成一个保守的矢量场，那么能量是守恒的。如果问题指定的是弹性碰撞，那么总机械能也是守恒的。
角动量：物体会旋转，没有净外力矩。

如果你能得到线性动量或角动量守恒，你就能得到每个相关维度的方程式。如果能量是守恒的，你可以得到一个自由方程，这个方程往往可以让你以较少的努力得到更多的信息。
例子：动量和能量守恒

一个宇航员在太空中把一个在位置（-1 ， -3）的球撞向另一个在位置（0 ， 0）的同等质量的球，然后这个球继续撞向位置（2 ， 3）的墙。在碰撞之前，第一个球以速度vi运动。碰撞后两个球的速度是多少？假设没有摩擦，没有空气阻力，没有重力，也没有旋转。

机械能是守恒的，因为问题告诉我们碰撞是弹性的，所以这将得到一个方程式。我们还可以从动量守恒中得到一些方程，因为球上没有外力。我们有三个未知数：

v1 ，第一个球的速度
v2 ，第二个球的速度
碰撞后第一个球的方向

我们知道第一个球在碰撞前的方向，因为它从（-1 ， -3）到（0 ， 0）。同样地，我们知道第二个球的方向，因为它从（0 ， 0）到（2 ， 3）。接下来，我们将对这些向量进行归一化处理（用它们的长度除以它们的长度），这样我们最终只得到方向。我们将在这些向量上加一个^ ，这样我们就知道它们是单位向量了。
我们对v2的处理过程与对vi的处理过程相同。现在我们有了单位向量，我们可以把这些向量表示为大小和方向的乘积。
我们先看一下动量方程：
现在我们有了一个关于v1的明确方程，我们就可以看一下总机械能方程了。请注意，由于v1是一个矢量，我们可以将其与自身作点积，得到其大小的平方，这就是我们在动能方程中需要的。
由于向量之间的点积是一个标量，我将用符号C来代替它。
现在，我们把它带入总机械能方程中，最终得出问题的答案。
舍弃v2=0的解，因为我们知道v2不为零，所以我们只剩下另一个解。我们把v2的结果带回v1的方程中，就完成了。
例子：能量守恒

一个质量为m、半径为R、密度均匀的球开始从一个斜坡（不一定是平的）上滚下来，没有空气阻力，没有滑动。球在到达坡道前有一个初始速度vi 。坡道的顶部比坡道的底部高出h米。当球到达坡道底部时，它的速度是多少？

由于既没有空气阻力也没有滑动，我们可以使用能量守恒。在坡道的起点和坡道的底部都有重力势能、平移动能（质量和速度）和旋转动能（惯性和角速度）。假设底部的势能为0 ，以使数学计算更容易。
由于它在任何一点上都没有滑动，因此在每一点上：Rω=v ，这意味着还有两个与速度和角速度有关的方程：一个在开始，一个在结束。最后，需要知道球体的惯性矩，我们可以通过直接积分或查表来得到。
将所有内容带入能量方程中，可以得到：
消去质量：
还可以使用Rω=v的替代方法，将变量的数量减少到一个未知数和三个给定变量。然后可以求出最终的速度。