1913年外尔发表了小册子Die Idee der Riemannschen Flche (关于黎曼面的思想) ， 对黎曼面进行统一处理 。 此项工作的一个重要意义在于将复数从复平面中解放出来 。 外尔用点集拓扑让黎曼面理论更加严格 ， 为后来的流形研究树立了榜样 。 黎曼几何的外尔张量对于理解共形几何非常重要 。
1918年外尔出版Raum-Zeit-Materie（空间-时间-物质）一书 ， 此时他已经开始思考如何筑牢广义相对论的数学基础并加以扩展 。 同一年 ， 外尔发表了关于规范场论的第一篇文章 ， 那是从数学上将引力理论同麦克斯韦电磁理论结合起来的尝试 ， 详情见下 。 也许不算巧合的是 ， 同一年在哥廷根出现了诺特定理 ， 而这是规范场论的重要基础 。
1923 -1938年间外尔发展了用矩阵表示表述的紧致群理论 。 关于紧致李群他证明了基本的特征标表 ， 这是理解量子力学的对称结构的关键 。 外尔还给出了旋量问题的阐述 。 外尔关于群论的工作 ， 加上维格纳（Eugene Wigner ， 1902-1995）和冯·诺伊曼（John von Neumann 1903-1957）的工作 ， 奠立了量子力学的数学基础 ， 见下 。 关于非紧致群及其表示 ， 特别是海森堡[4
(Werner Heisenberg 1901-1976) 群 ， 也捎带着在1927年在外尔量子化的框架中给处理了 。 李群和李代数才成了纯数学和理论物理的主流 ， 外尔功不可没 。
4 外尔的物理成就
外尔的物理贡献在于相对论、量子力学 ， 以及创立了基于相对论和量子力学的规范场论 。 环顾天下 ， 有此能力与机遇故而享此荣耀者 ， 仅此一人而已 。 爱因斯坦是量子力学、相对论和统计物理的奠基人；薛定谔是量子力学奠基人 ， 做出了挽救规范场论的关键一步 。 这三人是终生的好朋友 ， 且关于自然持比较一致的哲学观点 ， 实在是物理学的幸运 。
4a) 群论与量子力学
如果将1925年底薛定谔构思波动方程算作新量子物理的起点 ， 可以说外尔从一开始就参与了量子力学的创立 。 要确立薛定谔方程
的正当性 ， 那得有一个能表明它还算靠谱的例子 。 薛定谔将他的方程应用于氢原子求解其定态波函数 ， 不过那样得到的三变量的二阶微分方程的解 ， 即便对于当时已是数学物理教授的薛定谔本人来说 ， 也是很难的 。 这个工作是在外尔的帮助下才完成的 ， 详情见下 。
薛定谔1926年的量子力学奠基性论文的题目就是“作为本征值问题的量子化” ， 而算符的本征值问题可是外尔得出过定理的研究内容 ， 简直是撞到他的枪口上了 。 量子力学数学的关键概念是希尔伯特空间 ， 而希尔伯特就是外尔的导师 。 在量子力学中算符作用于波函数 ， 那么在波函数不能得到具体形式的局面下如何研究得到物理？这就得用群论来定性分析算符及其本征函数和本征值了 ， 而这又撞到外尔的枪口上了 。 仅仅到了1928年 ， 量子力学还羽翼未丰呢 ， 外尔的《群论与量子力学》就出版了 ， 算得上是第一时间赶出来的 。 外尔的《群论与量子力学》和维格纳1931年的《群论及其在原子谱量子力学中的应用》是从群论角度理解量子力学的经典 ， 它们让量子力学有了点学问的样子 ， 极大地促进了量子理论的发展 。 李群的表示论就是为量子力学量身定做的 ， 而外尔在群表示论和算子谱理论的权威研究让他成了新物理学当仁不让的代言人 。 由于群论对于一些物理学家来说太难了 ， 外尔他们当时的努力竟然被诬为群瘟 (Gruppenpest) 。 后来的发展表明 ， 群论是近代物理最有用的工具 。 这两本群论 ， 加上1930年狄拉克 (P.A.M. Dirac 1902-1984) 的《量子力学原理》和1932年冯诺伊曼的《量子力学的数学基础》 ， 是量子力学在建立过程中就形成的经典著作 ， 是理解量子力学之创造的第一手资料[5
。
外尔于1939年在普林斯顿期间出版了The classical groups(经典群) 此一经典著作 。 该书共分为10章 ， 包括导论、矢量不变量、矩阵代数与群环、对称群与完全线性群、辛群、特征标、不变量的一般理论、再论矩阵代数 ， 最后一章是补缀 。 外尔之所以写这本书 ， 是因为他在1925年就得到了一个半单连续群的特征 ， 他想用直接代数构造为所有重要的群得到类似的结果 ， 而当其时他已掌握了所有的工具 。 学过一点群论的人 ， 对外尔的The classical groups一书会特别有感觉 。 贯穿The classical groups 一书的是不变量理论 (invariant theory) ， 故可以和他的Elementary theory of invariants (不变量理论基础) 一书参照着读 。 不变量这个概念会把克莱因、希尔伯特、诺特和外尔联系起来 ， 会帮助我们理解什么叫“数学传统” 。 The classical groups也被认为是反映了外尔对数学一体性的坚持 ， 人们评价这本书值得一读再读十遍地读 (It’s the kind of book you read ten times—Atiyah) 。 当然 ， 这本书的序言比正文更有名气 。 论及书的风格 ， 相较于那种给读者以把他们关入了一个照明充分的小屋子 ， 其中每一个细节都凸显令人炫目的清晰而毫无阴影的那种印象 ， 外尔写道：
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