如何理解21年诺奖主题——复杂性？它关系到人类未来的命运( 二 )

由于每个原子都有自旋，我们可能想要“惩罚”附近原子具有相反自旋的构型（无序）。所以当一个特定的构型混合了上自旋和下自旋时，我们应该制定一个能量惩罚。一个这样的模型是如下所示的哈密顿函数。
这个哈密顿函数中的第一项是对旋转不一致时的惩罚。它增加了系统中每一对方向相反的自旋的能量惩罚。由于我们选择的晶格包含64个原子，如果它是一个有32个上旋和32个下旋的构型，那么无序性是最差的。另一方面，如果所有的旋转都是向上或向下的，那么就是最 \"平静 \"的构型。第二项只是为了抵消任何额外磁场的影响。
字母J和B分别代表了无序效应和外加磁场的总体大小。这些字母被称为耦合常数，它们衡量我们试图捕捉的物理效应的强度。
事实上，这个模型已经与自旋玻璃模型格外相似。我们已经可以提出许多有趣的问题。例如，假设J不是固定的--而是随机的。最小的能量状态会是什么样子？这不是那么明显。这个问题激发了帕里西在自旋玻璃模型中的对称性破坏方面的许多开创性工作。
现在，观察这个晶格中的每一个原子是有点困难的，因为它们的数量实在太多了。因此，我们尝试 \"放大，将靠近的原子分组，并在每个位置分配类似于平均复合自旋的东西。一个好的方法是将它们分成一组（如下图所示），然后给每个方块附加一个 \"平均 \"自旋。例如，如果一个方块中有两个上旋和两个下旋，那么这个方块的平均自旋将是零。这种平均方法就是我所说的 \"放大 \"系统的意思。
这在第一张图中显示。首先，我们将原子分组为四组，然后为每组四个原子分配一个混合值（平均自旋）。现在，我们把问题缩小到只有16个点，而不是64个点。
我们可以在这个放大的模型上精确地分配相同类型的物理量和模型，就像我们之前所做的那样！但是，我们不再惩罚自旋差异。然而，我们现在不是对每个原子的单个自旋差异进行惩罚，而是对组本身的自旋差异进行惩罚。现在让我们假设能量形式是相同的，但也许有不同的耦合常数， J和B 。

这里的哈密顿方程的形式仍然是相同的

如果是这样，物理模型的形状即使在放大后也是一样的，我们就说该系统表现出自相似性。这意味着，在新的模型中，哈密顿函数结构是相同的。然而，新参数J和B可能需要改变，以说明分组的情况。因此，通过 \"放大 \"系统，我们已经将一对变量从（J ， B）→（J' ， B'）映射出来。如果我们重复这个过程，我们会发现进一步的演变（J ， B）→（J' ， B'）→（J\" ， B\"）。弄清这些常数如何演化的科学被称为重正化群。
有时，当放大时，物理效应会被淡化。以盒子里的温度为例。有一些直接的、可靠的定律可以成功地预测盒子里的温度，如果慢慢增加里面的原子的压力。我们不需要知道每个粒子之间微妙的量子力学相互作用——这就是当放大时，它们的影响被淡化了。复杂系统则相反。复杂系统从具有相对简单规则的系统中显示出复杂的行为。
这与复杂系统有什么关系？它们表现出某种比例不变性。这种现象意味着，当放大系统时，耦合常数J和B实际上并没有改变。因此，在这种情况下，无论我们如何看待它，物理系统看起来都是一样的。这是物质在相变过程中的一个普遍特征，比如从液体到气体。这类系统称为临界点。
总结这仅仅是复杂系统的冰山一角。在未来的文章中，我希望能详细介绍帕里西研究的更复杂的自旋玻璃模型。具体来说，我想详细介绍在无序系统中可以找到的各种 \"平衡状态\" 。