薛定谔|薛定谔方程——量子力学皇冠上的明珠( 二 )
但后来 ， 马克斯-博恩提出了一个想法：也许波函数与概率有关 。 但概率是实数 ， 因此 ， 他认为我们可以取其幅度的平方（每个复数和函数都有一个振幅）来获得一个实值 ， 而不是直接将其值与概率联系起来 。 玻恩是正确的 。
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一个具有动量p和能量E的粒子的波函数或德布罗意波
让我们回顾一下到目前为止我们所说的内容 。
亚原子粒子的行为与经典物体不同 。 它们既拥有类似波的特性 ， 也拥有类似粒子的特性 。 此外 ， 描述这种大小的粒子的方程在本质上是概率性的 。 薛定谔方程中的波函数是一个函数 ， 其在空间和时间的某一点的值与粒子当时在那里的概率有关 。 它是如何相关的呢？它的大小的平方是概率密度（也就是每单位体积的概率） ， 我们在空间的某个位置找到粒子的概率 。
所以这就是波函数所表达的 。 上过概率课程的人可以预见到它的一些特性 。 首先 ， 我们对归一化的波函数感兴趣 。
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波函数的归一化。 为了简单起见 ， 这是一个一维（x维）的波函数
如果我们想一想 ， 这是很直观的 。 由于波函数大小的平方（等于我们在积分里面看到的波函数与其共轭物的乘积）给出了概率密度 ， 那么我们要求总的概率是1 。
我们已经“破译”了波函数背后的奥秘 。 现在让我们深入研究薛定谔方程 。
薛定谔方程
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记住我们到目前为止所说的一切 ， 薛定谔方程描述了概率波的形式 ， 它们是如何随时间演变的 ， 以及它们在外部影响下的行为 。 让我们把它一点一点地分解 。
从左手边开始 ， 我们首先遇到的两个符号是 "i"（虚数单位）和 "h"（普朗克常数） 。 尽管这些数字（符号）本身非常重要 ， 但它们对于理解薛定谔方程并不重要 ， 因此 ， 我们在本文中不会涉及它们 。
我们遇到的下一个表达是波函数的时间导数 。 时间导数本质上是告诉我们某些东西相对于时间的变化速度 。 在这种情况下 ， 是波函数的变化有多快 。
H上面加个“帽子”被称为哈密尔顿算子 。 对于那些不熟悉这个概念的人来说 ， 简单地说 ， 算子是一个函数 ， 它的输入不是一个数字 ， 而是另一个函数本身！它们将一个函数转换成另一个函数 。 例如 ， 我们可以将运算符A定义为任意给定函数f = f(x)并将其乘以x的算子：
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