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导数是研究函数性质的重要而有力的工具 , 特别是对于函数的单调性 , 以“导数”为工具 , 能对其进行全面的分析 , 为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法 , 进而与不等式的证明 , 讨论方程解的情况等问题结合起来 , 极大地丰富了中学数学思想方法.复习时 , 应高度重视以下问题:
1、求函数的解析式;
2、求函数的值域;
3、解决单调性问题;
4、求函数的极值(最值);
5、构造函数证明不等式 。
导数考查范围:
1、了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念 。
2、熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则 。 了解复合函数的求导法则 , 会求某些简单函数的导数 。
3、理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值 。
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导数有关的高考试题分析 , 典型例题1:
已知函数f(x)=m/x+xlnx(m>0) , g(x)=lnx﹣2.
(1)当m=1时 , 求函数f(x)的单调区间;
【热点|学霸必会的考点,也是高考热点,现在看还来得及】(2)设函数h(x)=f(x)﹣xg(x)﹣√2 , x>0.若函数y=h(h(x))的最小值是3√2/2 , 求m的值;
(3)若函数f(x) , g(x)的定义域都是[1 , e] , 对于函数f(x)的图象上的任意一点A , 在函数g(x)的图象上都存在一点B , 使得OA⊥OB , 其中e是自然对数的底数 , O为坐标原点 , 求m的取值范围.
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考点分析:
利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
题干分析:
(1)求出函数的导数 , 解关于导函数的不等式 , 求出函数的单调区间即可;
(2)求出h(x)的导数 , 解关于导函数的不等式 , 求出函数的单调区间 , 求出h(x)的最小值 , 从而求出m的值即可;
(3)根据OA和OB的关系 , 问题转化为x2/2﹣x2lnx≤m≤x2(e﹣lnx)在[1 , e]上恒成立 , 设p(x)=x2/2﹣x2lnx , 根据函数的单调性求出m≥p(1)=1/2 , 设q(x)=x2(e﹣lnx) , 根据函数的单调性求出m≤q(1) , 从而求出m的范围即可.
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导数有关的高考试题分析 , 典型例题2:
已知函数f(x)=ax2+cosx(a∈R)记f(x)的导函数为g(x)
(1)证明:当a=1/2时 , g(x)在R上的单调函数;
(2)若f(x)在x=0处取得极小值 , 求a的取值范围;
(3)设函数h(x)的定义域为D , 区间(m , +∞)?D.若h(x)在(m , +∞)上是单调函数 , 则称h(x)在D上广义单调.试证明函数y=f(x)﹣xlnx在0 , +∞)上广义单调.
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考点分析:
利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
题干分析:
(1)求出函数的导数 , 根据导函数的符号 , 求出函数的单调区间即可;
(2)求出函数的导数 , 通过讨论a的范围求出函数的单调区间 , 单调函数的极小值 , 从而确定a的具体范围即可;
(3)记h(x)=ax2+cosx﹣xlnx(x>0) , 求出函数的导数 , 通过讨论a的范围结合函数的单调性证明即可.
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导数有关的高考试题分析 , 典型例题3:
已知函数f(x)=xex﹣a(lnx+x).
(1)若函数f(x)恒有两个零点 , 求a的取值范围;
(2)若对任意x>0 , 恒有不等式f(x)≥1成立.
①求实数a的值;
②证明:x2ex>(x+2)lnx+2sinx.
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考点分析:
导数在最大值、最小值问题中的应用;函数恒成立问题;不等式的证明.
题干分析:
(1)利用导数的运算法则可得f′(x) , 对a分类讨论 , 当a≤0时 , f'(x)>0 , 故f(x)单调递增 , 舍去.当a>0时 , f'(x)=0有唯一解x=x0 , 此时求出极值 , 进而得出答案.
(2)①当a≤0时 , 不符合题意.当a>0时 , 由(1)可知 , f(x)min=a﹣alna , 故只需a﹣alna≥1.令t=1/a , 上式即转化为lnt≥t﹣1 , 利用导数研究其单调性极值即可得出.
②由①可知x2ex﹣xlnx≥x2+x , 因而只需证明:?x>0 , 恒有x2+x>2lnx+2sinx.注意到前面已经证明:x﹣1≥lnx , 因此只需证明:x2﹣x+2>2sinx.对x分类讨论 , 利用导数研究函数的单调性极值即可得出 。
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