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图3：我们可以通过展开正方体得到的面来想象一个立方体 。 同样 ， 我们可以通过展开超立方体得到的立方体来想象超立方体 。
所有这一切构成了对维度的直观理解 ， 即如果一个抽象空间有n个自由度（就像本文开头提到的那些鸟一样） ， 或者需要n个坐标来描述一个点的位置 ， 该空间就是n维的 。 然而 ， 数学家发现维度比这些简单的描述要复杂 。
2. 定义维度
人们对更高维度的正式研究出现在19世纪 ， 相关研究在几十年内变得相当复杂：1911年的参考书目包含1832条对n维几何的引用 。 也许因此 ， 在19世纪末和20世纪初 ， 公众开始迷恋第四维度 。 1884 年 ， 埃德温·阿博特 (Edwin Abbott) 创作了流行的讽刺小说《平面国》（Flatland） ， 小说以二维生物遇到三维生物作为类比 ， 帮助读者理解第四维度 。 1909 年《科学美国人》征文比赛题为“什么是第四维？”， 有245份参赛作品争夺500美元的奖金 。 许多艺术家 ， 如巴勃罗·毕加索（Pablo Picasso）和马塞尔·杜尚（Marcel Duchamp） ， 将第四维的想法融入到作品中 。
但在这段时间里 ， 数学家们意识到 ， 维度缺乏正式的定义实际上是一个问题 。
乔治·康托尔 (Georg Cantor) 因发现无穷大有不同的势 (cardinality）而闻名[2] 。 起初 ， 康托尔认为线段、正方形和立方体中的点集必须具有不同的势 ， 就像一条10个点的线、一个10×10的点网格和一个10×10×10的点立方体有不同数量的点 。 然而 ， 在1877年 ， 他发现线段中的点与正方形（以及所有维度的立方体）中的点之间存在一一对应关系 ， 这表明它们具有相同的势 。 凭借直觉 ， 他证明了尽管维度不同 ， 线、正方形和立方体都具有相同数量的无穷小的点 。 康托尔写信给理查德·戴德金（Richard Dedekind） ， “我看到了 ， 但我不相信它 。 ”
康托尔意识到这一发现威胁到n维空间需要n个坐标来描述的直觉观念 ， 因为n维立方体中的每个点都可以由一段区间中的一个数字唯一标识 。 因此 ， 从某种意义上说 ， 这些高维立方体相当于一维线段 。 然而 ， 正如戴德金指出的那样 ， 康托尔的函数是极不连续的——它本质上是将一条线段分成无限多个部分 ， 然后将它们重新组合成一个立方体 。 这不是我们所希望的坐标系的行为 。 这种坐标系太过无序 ， 无法为我们描述物体提供帮助 ， 就像是为曼哈顿的建筑物提供唯一地址却随机分配这些地址 。
然后 ， 在1890年 ， 朱塞佩·皮亚诺 (Giuseppe Peano) 发现 ， 可以将一维曲线缠绕得如此紧密且连续 ， 以至于可以填充二维正方形中的每个点 。 这是第一条空间填充曲线（space-filling curve） 。 但皮亚诺给出的例子也不是坐标系的良好基础 ， 因为曲线与自身无限多次相交 。 回到对曼哈顿的比喻 ， 这就像给一些建筑物多个地址 。
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