从小提琴中振动出的波动方程，成了支撑现代科技的基础理论之一( 二 ) 毕达哥拉斯

最后，排序得到：

这些音与钢琴上的C、D、E、G、A、B音相当接近。注意F没了。事实上，对耳朵来说， 81/64和3/2之间的间隙比其他的听起来更宽。为了填补这个空白，我们插入4/3——第四度的比率，它非常接近钢琴上的F 。现在我们得到了一个完全基于四度、五度和八度的音阶，

我们现在已经解释了钢琴上的白色音符，但还有黑色的音符。这是因为音阶中连续的数字有两个不同的比率：9/8（称为一个音）和256/243（半音）。例如， 81/64与9/8之比是9/8 ，而4/3与81/64之比是256/243 。 “音”和“半音”这两个名称表示音程的近似比较。数值分别为1.125和1.05 。第一个音较大，所以一个音对应的音高变化比半音大。两个半音的比率是1.05^2（大约是1.11），所以两个半音很接近一个音。
继续这个脉络，我们可以把每个音分成两个音程，得到一个12个音符的音阶。这可以通过几种不同的方式实现，并产生略微不同的结果。无论如何，当我们改变一段音乐的音调时，可能会有细微的但可听得出的问题：如果把每个音符向上移动一个半音，音程会有轻微的变化。如果我们为半音选择一个特定的比率，让它的12次方等于2 ，这种效果是可以避免的。那么那么两个音就会形成一个准确的半音， 12个半音组成一个八度音阶，你可以通过固定的幅度上下移动所有音符来改变音阶。
毕达哥拉斯关于自然和谐的理论实际上是建立在西方音乐的基础上的。为了解释为什么简单的比率与音乐和谐紧密相关，我们必须看看弦振动的物理现象。
声明：我不是乐理专家，表述有误的地方希望留言指出。
物理现象关键是牛顿第二运动定律，它把加速度和力联系起来。我们还需要知道拉力作用下，弦是如何随着弦的移动、轻微的拉伸或收缩而变化的。为此我们需要胡克定律：弹簧长度的变化与施加在它上的力成正比。小提琴的弦实际上是一种弹簧。但仍然有一个障碍存在：小提琴的弦是一个连续体，一条由无穷多个点组成的线。所以研究周期的数学家们认为弦是大量紧密的质点，由弹簧连接在一起。这就就可以写出小提琴弦的振动方程。
1727年，约翰·伯努利开始着手解决这个问题。在他的数学模型中，只有一根两端固定的弦，没有小提琴；弦在一个平面上上下振动。在这个实验中，伯努利发现弦在任何时刻振动的形状都是正弦曲线；振动的振幅也遵循一个正弦曲线（在时间而不是空间上）。他的解是sinct sinx ，其中c是常数。
【从小提琴中振动出的波动方程，成了支撑现代科技的基础理论之一】

连续的振动弦。其形状为正弦曲线。振幅也随时间呈正弦变化。

sinx告诉我们振动的形状，在t时刻，乘以一个因子sinct 。振荡的周期是2π/c 。
这是伯努利得到的最简单的解，但还有其他形式

振动弦的模式1、2、3 。在每种情况下，弦上下振动，其振幅随时间呈正弦变化。波越多，振动越快。

同样，正弦曲线是任何时刻弦的形状，它的振幅乘以一个时间相关因子，这个因子也是正弦变化的。公式是sin2ct sin2x ，sin3ct sin3x等等。振动周期为2π/2c ， 2π/3c等等。所以波越多，弦振动得越快。
通过乐器的构造和数学模型的假设，琴弦上有些点总是处于静止状态。这些“点”是毕达哥拉斯实验中出现简单数值比率的原因。例如，由于振动模式2和3（上图）发生在同一弦上，所以模式2节点之间的间隙是模式3应间隙的3/2倍。这解释了为什么像3:2这样的比例会自然地从振动弹簧的动力学中产生，但却解释不了为什么这些比例是和谐的。在解决这个问题之前，我们先介绍一下本文的主题——波动方程。
波动方程。波动方程源于牛顿第二运动定律。 1746年，让·勒朗·达朗贝尔将振动的小提琴弦视为质点的集合。他推导出一个方程来描述弦的形状如何随时间变化。但在我解释它是什么样子之前，我们需要先了解一个概念，叫作偏导数。