如果函数u只依赖于一个变量x ， 我们把它的导数写成
- u的微小变化量除以x的微小变化量
我们可以用du/dt来表示时间导数 ， 并将其解释为u的微小变化除以t的微小变化 。 但是这种表示法隐藏了一种模糊性：高度的小变化du ， 在这两种情况下可能是不同的 ， 通常也是不同的 。 当我们对空间进行微分时 ， 我们让空间变量稍微改变一点然后看看高度是如何变化的；当我们对时间求导时 ， 我们让时间变量改变一点看看高度是如何变化的 。 没有理由说随时间的变化应该等于随空间的变化 。
因此 ， 数学家们决定通过改变符号d来处理这种模糊性 。 他们选择了符号? 。
- 让很多人头疼的符号
只要你看到? ， 它就告诉你 ， 你将看到关于几个不同变量的变化率 。 这些变化率被称为偏导数 ， 因为概念上你只改变了变量集合的一部分 ， 保持其余的不变 。
当达朗贝尔解出振动弦的方程时 ， 他面对的就是这种情况 。 弦的形状取决于空间和时间 。 牛顿第二运动定律告诉他 ， 一小段弦的加速度与作用在其上的力成正比 。 加速度是速度对时间的导数 。 但这个力是相邻线段的拉力 ， “相邻”意味着空间上的微小变化 。 当他计算这些力时 ， 他得到了这个方程
其中u(x t)是t时刻弦上x处的垂直位置 ， c是与弦的张力和弹性有关的常数 。
达朗贝尔的公式就是波动方程 ， 和牛顿第二定律一样 ， 它是一个微分方程 ， 它涉及到u的二阶导数 。 因为这些都是偏导数 ， 所以它是一个偏微分方程 。 第二个空间导数表示作用在弦上的合力 ， 第二个时间导数是加速度 。 波动方程开创了一个先例：大多数经典数学物理的关键方程都是偏微分方程 。
一旦写出波动方程 ， 就可以解出它 。 因为它是一个线性方程 。 偏微分方程有很多解 ， 通常是无穷多 ， 因为每个初始状态都有一个独立解 。 例如 ， （原则上）小提琴的弦可以弯曲成任何你喜欢的形状 。 “线性”意味着如果u(x t)和v(x t)是解 ， 那么任意线性组合au(x t) +bv(x t)也是解 ， 其中a和b是常数 。
波动方程的线性特性源于伯努利和达朗贝尔做出的近似：所有的扰动都被假设为很小 。 现在 ， 弦上的力可以近似地用各个质量的位移的线性组合来表示 。 一个更好的近似将得出一个非线性偏微分方程 ， 这就复杂得多了 。
达朗贝尔知道他的思路是正确的 ， 因为他找到了一个固定形状沿着弦运动的解 ， 就像波一样 。 波的速度在方程中是常数c 。 波可以向左或向右传播 ， 叠加原理在这里发挥了作用 。 达朗贝尔证明了每个解都是两个波的叠加 ， 一个向左传播 ， 另一个向右传播 。 此外 ， 每一个单独的波可以有任何形状 。 在有固定末端的小提琴弦中发现的驻波是两种形状相同的波的组合 ， 一种是向左移动的 ， 另一种是向右移动的 。 在两端 ， 这两种波正好相互抵消：其中一种波的波峰与另一种波的波谷重合 。 所以它们符合物理边界条件 。
有两种方法可以解波动方程：伯努利方程可以得到正弦和余弦；达朗贝尔方程可以得到任意形状的波 。 起初 ， 达朗伯特的解看起来似乎更一般：正弦和余弦是函数 。 但大多数函数不是正弦和余弦 。 然而 ， 波动方程是线性的 ， 所以可以把伯努利解组合起来 。 简单起见 ， 只需考虑固定时间的波 ， 摆脱时间依赖性 。 下图以5sinx + 4sin2x?2cos6x为例 。 它的形状相当不规则 ， 而且摆动幅度大 ， 但它仍然是平滑的和波浪状的 。
- 具有不同振幅和频率的正弦和余弦的典型组合 。
