正弦和余弦解释了让毕达哥拉斯学派所推崇的和谐比率 。 这些特殊形状的波在声音理论中很重要 ， 因为它们代表着“纯净”的音调 。 任何真正的乐器都能产生纯音的混合 。 如果你拨动小提琴的弦 ， 听到的主要音符是sinx波 ， 但它上面还叠加了一点sin2x ， 也许还有sin3x等等 。 主音叫做基音 ， 其他的是它的和声 。 x前面的数字叫做波数 。 特别地 ， sin2x的频率是sinx的两倍 ， 它比原来高一个八度 。 这个音与基音一起演奏时最和谐 。
数学家们首先用最简单的方法推导出波动方程：一条振动线（一个一维系统） 。 但在实际应用中 ， 需要更一般的理论来模拟二维和三维的波 。 即使是在音乐中 ， 也需要两个维度来模拟鼓皮振动的模式 。 物理学的许多其他领域都涉及二维或三维模型 。 将波动方程扩展到更高的维度是很简单的 ， 所要做的就是重复那些计算小提琴弦的方法 。
例如 ， 在三维空间中 ， 我们使用三个空间坐标(x y z)和一个时间t 。 波由一个依赖于这四个坐标的函数u来描述 。 例如 ， 它可以描述声波穿过空气时空气中的压力 。 用与达朗贝尔相同的假设 ， 同样的方法可以得到一个同样漂亮的方程：
括号里的公式叫作拉普拉斯公式 。 这个表达式在数学物理中经常出现 ， 所以它有自己的特殊符号：
- 又一个让很多人头疼的符号
高维的主要问题在于 ， 波浪产生的形状（称为方程的域） ， 会很复杂 。 在一维空间中 ， 唯一相连的形状是一个区间 ， 一条线段 。 然而 ， 在二维空间中 ， 它可以是平面上的任何形状 ， 而在三维空间中 ， 它可以是空间中的任何形状 。
波动方程取得了惊人的成功 ， 在物理学的某些领域 ， 它非常接近于描述现实 。 然而 ， 它的推导需要几个假设 。 当这些假设是不现实的 ， 同样的物理思想可以加以修改以适应实际需要 ， 导致波动方程的不同版本 。
地震就是一个典型的例子 。 这里的主要问题不是达朗贝尔的假设 ， 即波的振幅很小 ， 而是域的物理性质的变化 。 这些特性会对地震波产生强烈的影响 ， 地震波是一种穿过地球的振动 。 通过了解这些影响 ， 我们可以深入地球内部 ， 了解它的构成 。
地震学领域最大的目标是找到一种可靠的方法来预测地震和火山爆发 。 事实证明 ， 这是很难的 ， 因为引发这些事件的条件是许多地点许多因素的复杂组合 。 但地震学家对波动方程的研究为许多正在研究的项目提供了理论基础 。
波动方程也有一些商业应用 。 石油公司勘探地下几公里处的“液态黄金” ， 方法是在地表实施爆炸 ， 并利用爆炸所产生的地震波回波来绘制地下地质情况 。 这里的主要数学问题是根据接收到的信号重建地质 ， 这是反向使用波动方程 。
