黎曼的几何基础，让数学领先物理100年，维度是人类最大的障碍( 二 ) _切口

这样，黎曼对牛顿力学作出了第一个重要突破。他排除了远距作用原理。对于黎曼而言， \"力\"是几何的结果。
接着，黎曼把我们生活的三维空间想象成四维空间中褶皱的纸。宇宙是弯曲的，当我们企图沿直线行走时，有些事情就会出差错。好像有一种看不见的力在拉扯着我们，让我们左摇右晃动。

黎曼推断，电、磁和引力皆由三维宇宙在看不见的第四维中起褶所致。因此， “力”本身并不存在，它只是几何畸变引起的结果。通过引进第四个空间维度，黎曼意外地发现自然规律在高维空间中表述时显得简单了，后来这成了现代理论物理学中的一个重要论题。然后，他就着手研究能够表述这种思想的数学语言。
黎曼度规张量∶时空的毕达哥拉斯定理当黎曼在1854年发表他的“几何基础”的演讲时，收到了非常好的反应。毫无疑问，这是数学史上最为重要的公开演讲。黎曼突破了统治数学2000多年的欧几里得几何学的演讲很快传遍了整个欧洲所有研究中心。他的讲演被翻译成好几种语言，且在数学家中产生了相当大的轰动。
像物理学和数学中的许多伟大著作一样，黎曼这篇伟大论文的核心思想并不难理解。黎曼从著名的毕达哥拉斯定理出发，

对于三维空间而言，这个定理很易于被推广，

把这个定理推广到 n 维也很简单。设想一个n维立方体，若a ， b ， c ， …是这个“超立方体”的边长，且z是这个\"超立方体\"的对角线长度，则

显然，虽然我们头脑中不能想象出一个n维立方体，但是，却很容易写出关于它的边和对角线的关系的公式。
接着，黎曼把这些方程推广到任意维的空间。这些空间既可以是平坦的，也可以是弯曲的。如果是平坦的，那么欧几里得定理适用∶两点之间直线最短，平行线永不相交，三角形三内角之和等于180度。但是黎曼还发现，面可以具有“正曲率” ，就像球面那样，这些面上的平行线总会相交，而且三角形的内角之和可以超过180度。面也可以有“负曲率” ，如马鞍形的或喇叭形，三角形三内角之和小于180度。

黎曼的目标是从数学上引进一种能够描述所有表面的新客体。这必然促使他、引进法拉第的场的概念。黎曼的思想是在空间的每一点引进一组数，这组数将描述空间在这一点的弯曲程度。
例如，对于一个普通的二维表面，黎曼在每一点引进一组3个数，这个数组就完全描述了该表面的弯曲。黎曼发现，在四维空间，需要在每一点引进一组10个数来描述它的性质。无论这个空间被弄皱或扭曲成什么样子，在每一点的一组10个数足以表达该空间的所有信息。让我们用记号

来标记这10个数字（（当分析四维空间时，下标可以从1到4变化））这时，黎曼的10个数字可以用下图表示，

它看起来好像有16个分量。然而

如此等等。因此真正独立的分量只有10个。现在，这个数组被称为黎曼度规张量。粗略地讲，度规张量的值越大，纸的折皱程度也越大。度规张量给了我们一种测量纸面任何一点曲率的简单方法。
黎曼的度规张量使他建立了一种强有力的工具来描述具有任意曲率的任何维空间。他惊奇地发现，所有这些空间都能明确定义，而且也很自洽。

我们将看到，统一的秘密在于把黎曼度规扩展到 n 维空间，接着再把它拆成一些矩形块。每一个矩形块与一种不同的力相对应。用这种方法，通过把各种自然力安排成像拼图板块一样的度规张量，我们就能描述它们了。这是高维空间统一了自然规律这一原理的一种数学表述。这个原理也就是在n维空间中有“足够的余地”来统一它们。更准确地说，在黎曼度规中有“足够的余地”去统一自然界的力。

黎曼预见了物理学中的另一个发展。黎曼是首先讨论多连通空间的人。为了想象这一概念，拿两片纸并且把一片放在另一片的上面。在每一片纸上用剪刀剪一个短的切口，然后用胶水把这两张纸沿这两个切口粘贴起来。