广义相对论 MM宇宙，唯一被证实的广义相对论混沌解，是理解量子引力的关键( 二 ) 鸡尾酒

在19世纪，科学家们试图了解物质如何混合的数学原理，在什么条件下可以认为是混合，以及什么过程导致混合。他们发现了四个层次的混合：遍历混合（ergodic）、弱混合（weakly mixed）、强混合（strongly mixed）和伯努利移位（Bernoulli shifted）。
假设你正在制作鸡尾酒，有10%的朗姆酒和90%的可乐。你可以制作一种混合方式的鸡尾酒。

遍历混合的鸡尾酒是混合得最不均匀的，如果你取任意体积的朗姆酒和可乐，随着时间的推移，朗姆酒的平均含量是10% 。这意味着在任何特定时间朗姆酒的比例可能是任何值。
对于混合程度较弱的鸡尾酒来说，除了偶尔有一次，体积中有10%的朗姆酒。
对于烈混合的鸡尾酒，朗姆酒的比例始终是10% 。
伯努利移位的鸡尾酒不仅总是10%的朗姆酒，而且鸡尾酒的“结构”在每一时刻都是完全随机的，你可以把它看作是一种不仅混合良好，而且处于不断搅拌状态的鸡尾酒。

伯努利移位混合也被称为phi-混合，是一种特殊的混合，因为它是伪随机的。它可以用于伪随机数生成器，并可能是布朗运动的原因。许多混沌系统表现出这种混合，包括Mixmaster宇宙。
让我们看一些混沌系统的例子。
理解混沌系统的最简单方法是使用所谓的映射，这只是系统状态x在时间n和时间n+1之间的关系。如果它是一个一维系统，那么x只是一个数字。
逻辑斯谛映射（The logistic map）是最古老的混沌映射之一，模拟人口的增长和崩溃。逻辑斯谛映射并不总是混沌的。相反，它可能是也可能不是，取决于一个可控参数的大小。
这里的可控参数是r ，唯一能控制的是它的起始位置。如果让这个映射运行一段时间（用一点Python代码就可以轻松搞定），它将趋向于收敛到一个或两个或更多的点，或者完全随机。你可以把所有这些收敛点收集到一个叫做分叉图的图中。我通过对10000个r值的地图进行1000次迭代，并对每个r值的最后100次迭代进行绘制，创建了一个分叉图。
你可以通过看图知道它在哪里变得混沌。这100个值在图上到处都是。但用数学的方法来看，就是计算李亚普诺夫指数，这是衡量其相空间中两个相邻轨迹发散的速度。如果这个指数是负的或者是零，这意味着系统收敛到一个特定的状态叫做不动点或者变成周期性的，那它就不是混沌的。如果它是正的，它就是混沌的。
这里的一个有趣的特点是，你可以看到在走向混沌的过程中，状态会经历一个叫做 \"周期加倍 \"的东西。一开始是小的r ，小于3 ，收敛到一个单一的固定点。在那之后，它在两个状态之间徘徊。然后它再次翻倍到4 。每次翻倍，李亚普诺夫指数都达到零，与混沌接近，然后在上升之前再次下降。你看不出来，但周期继续翻倍2、4、8、16、32 ，但是在r的范围内，它们每一周期花费的时间变短了。然后你可以看到，在r=3.57左右，它变得混沌。仍有一些短暂的时期，它又回到了非混沌状态。你可以在随机性之间看到那些白条。
另一个例子是切比雪夫多项式（ Chebyshev polynomials）。有无数个这样的例子，它们都具有很强的混沌性。
这里是一个三阶切比雪夫：
这些地图很混沌，它们可以代替完全随机的噪音。
切比雪夫多项式也被用于密码学中，因为它们不可预测，但对0非常对称。
现在，让我们来谈谈Mixmaster宇宙中的混沌情况。
Mixmaster引入了三个比例因子， a、b和c ，每个空间方向都有一个。因为它们是同质的，所以它们随时间变化，但不随空间变化。另一方面，因为它们都可以是不同的值，所以宇宙不是各向同性的。
你可以将下面的Mixmaster宇宙与标准宇宙，即FLRW宇宙进行比较，后者只有三个方向的一个比例因子。

两个比例因子振荡，而一个收缩和膨胀。 (约翰-D-巴罗)

FLRW宇宙学（维基媒体）

为了证明Mixmaster宇宙是混沌的，你必须把它还原成一个一维映射。爱因斯坦方程保证了其中一个比例因子，比如说c ，取决于另外两个， a和b ，所以它已经是二维的了。
在这种情况下，两个维度仍然太多，我们可以使用一个数学技巧将其进一步减少到一个维度，这个数学技巧被称为庞加莱回归映射。一些二维或更多维的空间，那么你该空间的轨迹必须通过它的一个横截面。