欧拉常数——最神秘的数字，调和级数的产物，至今看不清它的面貌( 二 )

在这种情况下：
再一次归纳，我们得到：
结合以上两个结果，我们得到：
因此， T_n是有界的。
T_n是单调递减的?现在我们证明， T_n是单调递减的，即：
证明——
回顾ln(x)的泰勒级数展开：
现在：
因此，我们可以使用上述泰勒级数展开。继续：
现在，观察一下：
这意味着第一项以及上述求和中的每项都是负数。由此证明：
因此， T_n是单调递减的。
现在，结合这两个事实：

T_n是有界的。
T_n是单调递减的。

并使用单调收敛定理，我们得到T_n确实收敛于一个固定的极限。也就是说， γ（gamma）存在。
给出γ一个更严格的下限?在上述基础上，我们可以自信地说：
但我们能不能再接近一些呢？
如果我们用梯形来代替矩形呢？
鉴于y=1/x的凸性，梯形所覆盖的面积比曲线要大。
从上面可以看出：
再一次归纳，我们可以得到：
现在，由于：
因此，我们有：
因此，我们已经将γ的下限从0提高到1/2：
事实证明， γ的值，精确到到小数点后5位是0.57721 ，与我们的下限相差不大。
关于级数收敛的额外内容
这是一个辅助部分，在这里我们明确地证明一个已经在上使用过的结果。
假设有两个级数：
那么，必须有：
证明：
首先，让我们回顾一下级数收敛的含义。
现在，我们通过矛盾法构建一个证明：
【|欧拉常数——最神秘的数字，调和级数的产物，至今看不清它的面貌】
上面的最后一行意味着，对于n>N ， a_n被限制在a_0的r邻域， b_n被限制在b_0的r邻域。
形象地讲:
上述情况表明：
因此我们得出了一个矛盾的结论。因此，我们的假设（a_0 < b_0）是错误的。因此， a_0≥b_0 。