其实欧几里得也已经感觉到了这个平面有些问题 ， 他在第五公设中使用了无限这个词 ， 问题就是只有曲面没有平面 ， 即便是看起来像是平面的形状也是曲面在小尺度下的近似 。
还是先来看看高斯的观点吧 。
1827年 ， 高斯在论文《关于曲面的一般研究》的基础上 ， 发展了内蕴几何 。
先说一下什么是内蕴几何 。
内蕴几何是相对于外嵌几何来说的 ， 外嵌几何就是以上帝的角度来看待几何 ， 在上帝看来地球就是一个球体 ， 内蕴几何就是从人的角度来看几何 ， 在上帝看来地球就是一个球体 ， 在人看来地球就是一个平面 ， 注意是看 ， 不是知道 ， 那时候人们确实知道地球是一个球体 ， 但不是看到的 ， 是想到的 。 内蕴几何就是人借用上帝大地眼睛去看世界 。
换个说法吧 ， 我们看一个篮球就是曲面球体 ， 而篮球上的一只蚂蚁看来篮球就是一个平面 ， 同理 ， 蚂蚁看到的一段直线在我们看来就是一段弧线 。
其实欧几里得说的直线应该叫做测地线 ， 几何学的含义就是测量大地的学问 ， 这就是说几何学的基础就在测量大地上 ， 测地线就是在地面上一点到另一点的距离 ， 我们知道我们居住的大地是球形的 ， 这样看来的话 ， 欧几里得所谓的直线也是曲线 。
依照高斯的观点 ， 罗巴切夫斯基的非欧几何就是在曲面上的几何学 ， 我们还是来看一张图吧 。
这就是罗巴切夫斯基的非欧几何 ， 这可以看出来 ， 曲面上三角形的内角和小于180° ， 通过直线外一点的平行线也不止一条 ， 因为这是一个双曲曲面上 ， 因此罗巴切夫斯基的非欧几何也叫做双曲几何 。
高斯不但在理论上阐述了这个问题 ， 他还做了实验 。
在1818年到1826年期间 ， 高斯主导了汉诺威公国的大地测量工作 ， 他曾经测量三个山峰组成的三角形的内角和 ， 在高斯看来 ， 只要三角形足够大 ， 那么就接近曲面 ， 只要就可以找到三角形内角和不等于180°的证据 ， 可由于当时测量工具的精度不够 ， 他并没有得到这个结论 ， 这也使得他更不能轻易发表证据的看法了 。
不管怎么说 ， 罗巴切夫斯基已经拿到了非欧几何的首创权 ， 毕竟他遇到的是高斯而不是牛顿 ， 在几何上 ， 要说欧几里得就好像托勒密一样 ， 那么罗巴切夫斯基就是当之无愧的哥白尼 ， 不过也仅仅是哥白尼 。
罗巴切夫斯基推翻了欧几里得 ， 就像哥白尼用日心说推翻了托勒密的地心说一样 ， 可是日心说并不是最终的真理 ， 之后还有伽利略和牛顿 ， 罗巴切夫斯基也并不是终点 。
那么由谁来开启新的征程呢？
4.黎曼出世
1826年 ， 高斯还在汉诺威公国的大地上忙碌的时候 ， 一个婴儿降生在这片土地上 ， 他就是命中注定要接过高斯旗帜的黎曼 。
在跨入大学前 ， 黎曼并没有感受到命运的感召 ， 他以一个神学系学生的身份走进了哥廷根大学 ， 但命运的力量是不可抗拒的 ， 黎曼偶尔听了一场年近古稀的高斯的数学讲座 ， 就是这场讲座 ， 让黎曼闯进了数学王国 。
获得博士学位后 ， 黎曼需要做一个演讲来获得教职 ， 他准备了三个题目 ， 可到底讲哪个有点难以取舍 ， 他去向高斯请教 ， 高斯一眼就相中了几何基础 。
对于这个题目 ， 黎曼仅仅准备了两个月 ， 他自己也并没有多少把握 ， 可是既然都相中了 ， 那么就一定有他的道理 。
黎曼的演讲就是《论作为几何基础的假设》 ， 他的演讲并没有语惊四座 ， 据说只有高斯才听懂了他在说什么 ， 不过已经足以让所有人大吃一惊 ， 黎曼说根本就没有平行线 。
还是用球来打个比方吧 。 这次用地球 。
在地球上我们看来经线都是平行的 ， 可经线最终都要交汇于南北极 ， 这哪里还有什么平行线呢？可是经线不是直线呀 ， 谁说经线不是直线呀 ， 欧几里得的直线就是测地线 ， 经线本来就是测地线呀 ， 要是我们穿过地球做一条直线呢 ， 那你怎么知道宇宙空间是什么样的呀 ， 没准也是个球呢 。
在说黎曼的理论之前 ， 还是先来看一下高斯的想法 ， 毕竟只有他听得懂嘛 ， 我们要想听懂 ， 也得先复习一下高斯的想法 。
在平面上 ， 我们知道如何测量一段直线的距离 ， 用公式表示就是：
ds2 = dx2 + dy2
其实就是欧几里得几何中的勾股定理 。
那么在曲面上的弧长公式呢 ， 高斯给出了公式：
ds2 = E du2 + 2F dudv+ G dv2
E、F、G都是系数 ， 和曲面上点的性质有关 ， u就是横坐标 ， v就是纵坐标 。
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