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假如我们生活在一个立方体形状的地球上 ， 你该怎么找到环球旅行的最短路径呢？
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一直走啊走——测地线
你有没有想过 ， 如果地球的形状不是球形 ， 生活会是什么样子？我们总是把太阳系的平稳运行和行星旋转对称所带来的缓慢而平稳的日落看成是理所当然的 。 球形的地球也让我们很容易找到从A点到B点的最短路径:沿着经过这两点并把球体切成两半的圆弧移动 。 我们使用这些称为测地线的最短路径来设计飞机路线和卫星轨道 。
但如果我们住在一个立方体上呢？我们的世界将更加摇摆不定 ， 我们的视野将变得弯曲 ， 最短路径也将更难找到 。 你可能不会花很多时间想象立方体上的生活 ， 但数学家们会:他们研究在各种形状的星球上的旅行是什么样子的 。 最近一项关于在十二面体上往返旅行的发现改变了我们几千年来观察物体的方式 。
在给定形状上找到最短的往返路线似乎很简单 ， 只需要选择一个方向并沿着直线一直走下去 ， 最终你会回到起点 ， 对吧？然而 ， 这取决于你在什么形状的物体表面旅行 。 如果是球体 ， OK没问题 。 (我们这里忽略了这样一个事实:地球不是一个完美的球体 ， 它的表面也不完全是光滑的 。 )在球体上 ， 径直路径是沿着“大圆弧” ， 也就是像赤道一样的测地线 。 如果你绕赤道走一圈 ， 大约2.5万英里后 ， 你会绕完一圈 ， 最后刚好回到起点 。
在一个立方体的世界里 ， 测地线就不那么明显了 。 在单独一个面上很容易能找到一条径直路径 ， 因为每个面都是平的 。 但如果你在一个立方体的世界里行走 ， 当你到达边缘时 ， 你如何继续“直”走呢?
立方体上的蚂蚁
有一个有趣的古老数学问题回答了我们的疑问 。 假如在立方体的一个角落有只蚂蚁 ， 而它想要到达另一个角落 。 那么立方体表面上从A到B的最短路径是什么？
你可以想象出蚂蚁可以选择的很多不同的路径 。
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来源：Samuel Velasco/Quanta Magazine
但是哪一条路径最短呢?有一种巧妙的方法可以解决这个问题 。 我们把立方体压平!
如果立方体是纸做的 ， 你可以沿着边缘剪开 ， 然后把它压平 ， 得到一个像这样的“格网” 。
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在这个平坦的世界里 ， 从A到B的最短路径很容易找到:只需要在它们之间画一条直线 。
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为了看看我们的立方体世界的测地线是什么样的 ， 只要把立方体重新拼在一起 。 这就是我们的最短路径 。
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将立方体展平是可行的 ， 因为立方体的每个面本身都是平的 ， 所以当我们沿着边展开时 ， 没有什么会被扭曲 。 (类似这样“展开”一个球体的尝试却是行不通的 ， 因为我们无法在不扭曲它的前提下将其展平 。 )
现在 ， 我们已经对立方体上的径直路径有了一定的了解 ， 让我们重新考虑一下我们是否可以沿着任何一条径直路径行走 ， 并且最终回到起点 。 显然 ， 与在球体上行走不同 ， 在立方体上并不是每条径直路径都能够往返走个来回 。
往返的路径是存在的——但是有一个条件 。 注意 ， 蚂蚁可以沿着我们上面绘制的路径继续前进 ， 并最终回到它开始的地方 。 在一个立方体上 ， 绕一圈后产生的路径看起来更像一个菱形 。
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沿着这条往返路径 ， 蚂蚁必须经过另一个顶点(点B) ， 之后才能回到起点 。 这就是问题所在:每条从同一个顶点开始和结束的径直路径都必须经过立方体的另一个顶点 。
翻滚吧 ， 路径
上面的结论对于5个正多面体（Platonic solids ， 也称柏拉图多面体）中的4个是成立的 。 在立方体、正四面体、正八面体和正二十面体上 ， 任何从同一个顶点开始和结束的径直路线都必须经过另一个顶点 。 数学家们五年前就证明了这一点 ， 但正十二面体并没有位列其中 。 我们稍后再讲这个 。
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为了理解为什么对于5个正多面体中的4个而言 ， 这个有关测地线的事实是正确的 ， 我们将采用“翻滚”的方法来研究这些路径 ， 我们将切换到一个四面体世界 ， 这样能更容易研究翻滚的路径 。
假设从一个四面体的顶点出发 ， 沿着一个面沿着一条直线前进 。 我们确定一下四面体的方向 ， 规定路径从底面开始 。
当我们遇到一条边的时候 ， 我们会把这个四面体“翻转”过来 ， 这样我们的路径就会继续保持在底部的面上:
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这张翻转的图表给了我们提供了一种追踪路径的方法 ， 就像我们在立方体的格网上做的那样:
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上面的翻滚路径代表了四面体表面的路径:
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这里四面体的五次翻滚对应于路径穿过的额外的五个面 。
现在我们可以把四面体表面上的任何路径想象成这个翻滚空间中的路径 。 我们称起点为点A ， 看看这个点经过一些翻转后 ， 最终落在哪里 。
当我们的路径离开A时 ， 四面体就会滚到另一边 。 这会让A离开地面 。
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顶点A暂时悬浮在翻滚空间中 。 在建立翻滚空间时 ， 我们通常不会指明点A的位置 ， 但如果我们向下看的话 ， 它就会出现在这里 。
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随着路径的继续延伸 ， 四面体再次翻滚 。 它可能有两个方向 ， 但任何一个方向A都会回到地面 。
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当我们让这个四面体向每个可能的方向翻滚时 ， 我们最终得到一个像这样的翻滚空间:
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四面体的等边三角形面组合在一起构造了一个网格系统 。
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这个网格系统告诉我们关于翻滚空间的两件有趣的事情 。 第一 ， 四面体的顶点能落到的点都是“格点” ， 或者说是具有整数坐标的点 。 这是因为坐标系中的一个单位是四面体的一条边长 。
第二 ， 我们来看看A点最后会到哪里 。 A的坐标总是偶数 。 当A在底面上时 ， 它将在两次翻滚后回到地面 ， 所以点A在每个翻滚方向上可能的着陆点都间隔两个边缘长度 。
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现在我们来看看这对测地线来说意味着什么 。 回想一下,四面体上以点A为起止点的路径在翻滚空间中都是在(0,0)处的A点开始 ， 在另一个A点结束的直线段 。 并且当路径的起止点都是A点时,这些路径的中点会存在一些很有趣现象 。
即使在弯曲坐标系中 ， 标准中点公式仍然成立 ， 因此我们可以对端点坐标求平均值来得到中点的坐标 。 由于起点的坐标都是0 ， 终点的坐标都是偶数 ， 所以中点的坐标都是整数 。 这意味着中点都是格点 ， 因此正如我们在前面观察到的 ， 它对应于翻滚空间中三角形的顶点 。
例如 ， 从(0,0)到(4,2)的路径的中点(2,1) ， 这是网格中的一个格点 。
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这意味着在四面体的表面上 ， 这条从A到自身的路径必须经过另一个顶点 。
由于在这个系统中A的每个可能的着陆点都有偶数坐标 ， 所以以A为起止点的每条测地线路径的中点都对应一个格点 。 这表明四面体表面上从A到A的每一条测地线都必须经过另一个顶点 。
这是在2015年数学家戴安娜·戴维斯(Diana Davis)、维克多·多兹(Victor Dods)、辛西娅·特劳布(Cynthia Traub)和杰德·杨(Jed Yang)所给出的严格的论证的一个简单版本 。 他们用了一个相似但更加复杂的过程论证了同样的情况对于立方体也成立 。 在第二年德米特里·富克斯（Dmitry Fuchs）证明了这一结果对于正八面体和正二十面体同样成立 。 正因如此 ， 我们知道对于正四面体 ， 立方体 ， 正八面体和正二十面体而言 ， 不存在以某个顶点为起止点但不经过另一个顶点的径直路线 。
但在2019年之前 ， 正十二面体表面是否存在这样的路径一直是一个悬而未决的问题 ， 直到数学家贾亚德夫·阿特里亚(Jayadev athrya)、大卫·奥利奇诺(David Aulicino)和帕特里克·胡珀(Patrick Hooper)证明了这实际上是可能的 。 事实上 ， 他们在十二面体的表面上发现了无穷多条以某个顶点为起止点但不经过其他顶点的径直路线 。
这是一条在十二面体的网格上显而易见的径直路线 。
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几千年来 ， 人们一直把正多面体放在一起讨论研究 ， 因为它们有很多共同之处 。 但现在我们对正十二面体有了新的认识 ， 这显然是不同的 。 这个不可思议的发现表明 ， 无论我们对数学对象的理解有多透彻 ， 总有更多的东西需要学习 。 它还表明 ， 从问题到解决方案的路径并不总是像一条直线 。
下面给大家几个小练习
1. 如果立方体的边长为1 ， 蚂蚁从顶点到相对顶点的最短路径是多长?
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路径是一个直角边长分别为1和2的直角三角形的斜边 。 通过勾股定理可以计算得到AB长度为
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2. 解释为什么下面的图表不能是立方体上的路径的翻滚路径 。
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如果一条路径要求立方体先向右翻转两次 ， 那么它的“斜率”最多是每向上移动一个立方体边长并向右移动两个立方体边长 。 在第一次翻滚之后 ， 这条路径所能到达的最高位置是侧边的一半（1.5倍立方体边长） ， 而这也要求下一次翻滚是向右的 。 这让我们对为什么立方体的翻滚路径比正四面体的更复杂有了一些了解 。
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3.立方体的翻转路径的一个复杂之处在于 ， 点A并没有一个唯一的端点位置与立方体上的给定端点位置相关联 。
例如 ， 即使立方体最终沿着红色或蓝色路径移动到相同的位置 ， 点A最终也会处于不同的位置 。 请你确定一下A沿着红色路径和蓝色路径翻转后的终点在哪里 。
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用魔方或骰子来表演是很有帮助的 。 还要注意的是 ， 蓝色的路径不能是立方体上路径的翻滚路径 。
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4.这是立方体路径的一个有效的翻滚路径 。 画出从A开始的立方体表面上的路径 。
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作者：Patrick Honner
翻译：CC
审校：Dannis
原文链接：
https://www.quantamagazine.org/the-crooked-geometry-of-round-trips-20210113/
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互动问题：你知道有哪些证据能说明地球是球形的呢？
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【立方体|如果地球是方的，环球旅行该怎么规划？】编辑：Dannis
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