否命题|为什么原命题与逆否命题等价？_命题逻辑|社会

1 从钱大姐说起
大家在学习中学数学时一定接触过这样一条结论：原命题与逆否命题等价（同真同假）.我们常常可以将原命题转化为其逆否命题来进行分析.以一道高考题为例：
“（上海2013理数16）钱大姐常说：“便宜没好货” ，她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的（）.
.充分条件
.必要条件
.充分必要条件
.既非充分也非必要条件
分析：通常我们会把命题写成“若则”的形式，以便得到四种命题形式.
原命题：若则.
逆命题：若则.
否命题：若则（也可记作若则）.
逆否命题：若则（也可记作若则）.

否命题|为什么原命题与逆否命题等价？
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可以把题目中钱大姐的原话改写成“若则”形式的命题：
若东西是便宜的，则它不是好货.
其逆否命题为：
若东西是好货，则它不便宜.
而原命题与逆否命题等价，同真（这道题的隐含条件是默认钱大妈说的话是正确的，即为真命题）.因此，得到
好货
不便宜

也为真.也就是说，好货是不便宜的充分条件，不便宜是好货的必要条件，故选.
在这里，我们很自然地运用了“原命题与逆否命题等价” ，但是你有想过这一结论为什么成立吗？今天大小吴将与大家探讨这一问题.
2 看似正确的证明我们先来看对这一问题的一种证明方法：
已知，求证.
证明:（反证法）
假设不成立，则，
由已知得，矛盾.
因此.得证.
这个证明看似正确，但实则是存在漏洞的.
在数学上使用反证法证明命题，其原理是逻辑学中的“矛盾律”和“排中律”.具体办法是通过对待求证的命题进行否定，经过推理得出矛盾，从而说明原命题的否定为假，原命题为真.
而问题恰恰就出在“不成立，则”这一步上.因为“”的否定并不是“”.
为方便起见，我们来举个例子说明“”的否定并不是“”.
假设

四边形对角线互相平分

该四边形为矩形

则易知不成立，为假命题.
而此时

该四边形不是矩形

也可得知也不成立，也为假命题.
命题与命题的否定必有一真一假，而这里与都为假，可见的否定并不一定是.
那么，什么是的否定呢？
3 真值表在探究这个问题之前，我们先来学习一下数理逻辑的“真值表”.
什么是“真值表”呢？我们知道，一个命题要么为真，要么为假，我们通常用“1”表示“真” ， “0”表示“假” ，那么，命题的真假值就可以在表格中表示出来了.在逻辑学中，有三种基本运算分别是
（与）（且）
（或）
（非）
非运算很好理解，对命题的真假值取反即可，与（且）运算只有当真假值同为真时才为真，或运算只有当真假值同为假时才为假.
真值表如下：

X	Y	X且Y	X或Y	非X
0	0	0	0	1
0	1	0	1	1
1	0	0	1	0
1	1	1	1	0

同样地，我们也可以给出的真值（“若则”即为，在逻辑学中称为蕴含）.

X	Y	若X则Y
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

通过真值表可以发现，只有当为真，为假时，若则才为假，其他时候都为真，这是为什么呢？我们来举个形象的例子来说明这种规定的合理性：
爸爸对小红承诺：如果小红期末考试数学成绩为优（），则他就带小红到黄山去旅游（）.这时会有四种情况发生：
①小红成绩得优，爸爸带她去旅游（真真）；
②小红成绩得优，但是爸爸没有带她去旅游（真假）；
③小红没有得优，爸爸仍然带她去旅游（假真）；
④小红没有得优，爸爸没有带小红去旅游（假假）.
情况①说明爸爸遵守了承诺，所以“若则”为真；在情况③、④中小红没有得优，所以不管爸爸有没有带小红去旅游，都不能说爸爸违背了诺言，所以“若则”仍然为真；而情况②说明爸爸没有信守诺言，此时“若则”为假.
所以实际上“若则”的真值定义符合我们日常思维的逻辑，只有当“真且假”时， “”才为假.因此， “”的否定应该是“且非”.这个结论同样可以用真值表进行验证.

X	Y	非Y	若X则Y	X且非Y
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	1	0

再回到之前讨论的命题：

若四边形对角线互相平分，则该四边形为矩形
它的否定就应该是

四边形对角线互相平分，且该四边形不是矩形
显然，存在对角线互相平分且不是矩形的四边形：菱形就满足这样的条件.前者与后者的真假值为一假一真.
也就是说，在数学上我们要说明一个命题是假命题，要举出至少一个反例.
4 原命题与逆否命题再来回到一开始的问题：原命题与逆否命题为什么等价呢？学习了真值表，我们便可以解释了.