对称性与拓扑序：新型量子计算机的物理基础——众妙之门(18)_2019年9月5日

图15/16

图14．正四面体分形结构。平移对称性是位置平移后保持不变的对称性，与之相对应，分形结构的自相似性是放大缩小变化下的不变性。 | 图片来源：Wikipedia

这种分形行为意味着 Haah 编码永远不会“忘记”组成它们的底层晶格，也永远无法如同在量子场论当中那样，用一个平滑的流形来近似。Chamon 编码也是如此。此外，Chamon 编码和 Haah 编码的基态数量随着底层晶格的规模增长——这是绝对的非拓扑性质。（拓扑结构，比如一个环面，伸展后仍然是一个环面，并不随尺度改变。）

Haah 编码的量子态非常安全，因为一个完全命中所有晶格位点的“分形算符”（fractal operator）不太可能随机出现。一种可实现的 Chamon 编码和 Haah 编码版本将具有很大的技术层面的意义。

Chamon 相和 Haah 相也激发了理论思考。Haah 一直在促进事情的发展。2015年，他和麻省理工学院的两名合作者发现了现在被称为“分形子模型”（fracton model）的一类物相的许多实例，这是 Haah 编码较为简单的类似物。