起初 ， 阿尔弗雷德·克莱布什在为了几何目的而利用黎曼的函数理论上所做的工作比其他任何人都要多 。 克莱布什最早在一篇题为《论阿贝尔函数对几何学的应用》中对这一课题给予了关注 。 这是一次三重方向进攻的开始 。 克莱布什最初只是着手把黎曼的复变函数理论应用于代数曲线的研究 。 他有充分的能力来完成这项任务；他熟悉复射影几何学家们先前的工作 ， 熟悉阿贝尔函数理论的雅可比传统 ， 熟悉黎曼的论文 。 他获得了很多卓有成效的成果 ， 为进一步的研究奠定了基础 。
另一种方法 ， 在克莱布什与埃尔朗根大学的戈尔丹合作完成的作品中使用 。 在1866年出版的著作《阿贝尔函数理论》中 ， 他们着手在代数几何的基础上重建阿贝尔函数理论 。 戈尔丹作为19世纪不变量理论的捍卫者而被人们所铭记 ， 在这一背景下我们注意到世纪之交的意大利几何学派 ， 包括卡斯特尔诺沃、恩里克斯以及稍晚的塞韦里 ， 都十分看重不变量理论 。
最后 ， 克莱布什转向了曲面研究 。 他提出了二重积分 ， 希望通过探索与阿贝尔积分应用于曲线研究的类似方法来获得结果 。
【几何学——想象力与创造力的天堂，不断改变人类理解世界的方式】最活跃的方向是把双有理变换应用于曲线研究；很多数学家都注意到 ， 黎曼的模只不过是双有理不变量 ， 从而用黎曼的术语来表述他们的研究 。 尽管欧洲主要中心的数学家们做了大量的工作 ， 但最终的结果似乎令人失望 。 到1920年代 ， 大多数这样的“代数几何学”努力开始退居次要位置 ， 让位于纯代数方法 ， 这一方法在一般性和抽象性上日益提高 ， 在代数几何学中处于支配地位长达几十年 。
