费利克斯·克莱因
克莱因在某种意义上是普吕克的继任者 ， 然而 ， 他采取了不同的方向 ， 这个方向有助于把某种统一的元素带入新研究成果的多样性中 。 新观点部分程度上或许是探访巴黎的结果 ， 在那里 ， 拉格朗日关于群论的暗示已经发展成了———尤其是通过置换群———代数学的一个成熟的分支 。 克莱因对群概念中的统一可能性留下了深刻的印象 ， 他把余生的全部时间都花在了发展、应用和推广这个概念上 。 在这项工作中 ， 他与挪威数学家索菲斯·李携手合作 ， 李发现了切变换 ， 并写了一部厚重的三卷本论著 ， 论述变换群理论 。 李的切变换（后来被克莱因系统化了）以这样一种方式在欧氏空间的直线与球体之间建立一一对应的关系 ， 使得相交线对应于切球 。 （按照克莱因的观点 ， 欧氏三维空间里的直线和球体各自构成了一个四维空间 。 ）一般而言 ， 切变换是把切曲面带入切曲面的解析变换 。
一组元素如果符合下面这些条件 ， 我们就说它们构成了关于某个给定运算的一个群：（1）这组元素在该运算下是封闭的 ，
（2）这组元素包含一个关于该运算的单位元素 ，
（3）对于组中的每个元素 ， 都有一个关于该运算的逆元素 ，
（4）该运算是结合运算 。
元素可以是数（比如在算术群中）、点（在几何群中）、变换（在代数群或几何群中）或者任何东西 。 运算可以是算术运算（比如加法或乘法）或几何运算（比如围绕一个点或一根轴旋转） ， 或任何其他把组中的两个元素（比如两个变换）结合起来构成组中的第三个元素的运算法则 。 群概念的概括性很明显 。 1872年 ， 克莱因成为埃尔朗根大学的教授时 ， 在一项著名的就职纲领中显示 ， 群如何能够作为一个很方便的手段 ， 用来描述19世纪所出现的各种不同的几何的特征 。
克莱因拿出的这项纲领（后来被称作“埃尔朗根纲领”）把几何学描述为研究那些在某个特定变换群之下依然保持不变的图形的性质 。 因此 ， 对变换群的任何一种分类都成了几何学的一种规范化 。 例如 ， 欧氏平面几何所研究的是这样一些图形的属性（包括面积和长度） ， 它们在由平面上的平移和旋转（所谓的刚性变换）所组成的变换群之下依然保持不变 ， 相当于欧几里得未曾说出的公理：这些图形在一个平面上移动的时候依然保持不变 。 从分析学的角度讲 ， 刚性平面变换可以写作下面的形式：
式中 ， ae-bd=1；这些构成了一个群的元素 。 把这样两个元素“结合”起来的“运算”只不过是按顺序变换而已 。 不难看出 ， 如果在上面的变换之后紧接着执行下面的变换：
连续两个运算的结果 ， 等价于这种类型的某一单个运算 ， 它将把点（x ， y）带到点（x″ ， y″）的位置上 。
在这个变换群中 ， 如果用更一般的条件：ae-bd≠0 ， 取代原先的条件：ae-bd=1 ， 则新的变换也组成了一个群 。 然而 ， 长度和面积未必保持不变 ， 但一条给定类型的圆锥曲线（椭圆、抛物线或双曲线）在这些变换下将依然是同一种类型的圆锥曲线 。 这样的变换 ， 莫比乌斯更早研究过 ， 被称作仿射变换 ， 它们是所谓的仿射几何的典型特征 ， 之所以这样称呼 ， 是因为在这样的变换下一个有限点变换为一个有限点 。 那么很显然 ， 从克莱因的观点来看 ， 欧氏几何只不过是仿射变换的一个特例 。 反过来 ， 仿射几何也只不过是一种更加一般的几何———射影几何———的一个特例 。 射影变换可以写作下面的形式：
很显然 ， 如果d=0=e ， 且f=1 ， 这个变换就是仿射变换 。 射影变换的有趣属性包括：
（1）一条圆锥曲线
（2）交比依然保持不变 。
在某种意义上 ， 克莱因的工作是“几何学的英雄时代”的一个当之无愧的高潮 ， 因为他讲课和教学的时间长达半个世纪 。 他的热情具有极强的感染力 ， 以至于19世纪晚期的一些重要人物都很乐意支持群论最终不仅把几何学包括在内 ， 而且把数学的所有分支都纳入其中 。 今天 ， 他的名字还在那个被称作“克莱因瓶”的单侧曲面的拓扑中被人们所铭记 。
后黎曼时代的代数几何
到19世纪末 ， 有几种新方法研究几何学 ， 通常按照代数几何的不同版本来分类 。 在黎曼的作品中有一个共同的基础 。 不是黎曼的明确属于几何学的出版物 ， 而是他的论述复变函数理论的作品 ， 尤其是跟一篇论述阿贝尔函数的经典论文中黎曼曲面的概念相关联的作品 ， 为大多数这样的研究提供了促进因素 。
