解析几何
现在我们转向解析几何在这一时期所取得的成就 。 正如蒙日大概是第一个专攻一般意义上的几何学的现代数学家 ， 尤利乌斯·普吕克成了第一个专攻特殊意义上的解析几何的数学家 。 他坚定地相信 ， 代数学方法大大优于蓬斯莱和施泰纳的纯几何方法 。 19世纪初 ， 很多人都认识到了 ， 解析几何被代数计算
的交点的圆族简单地写作：
使用了两个参数或乘数m和m' 。 拉梅似乎是通过简记法来研究单参数族解析几何的创始者 ， 但正是普吕克 ， 把这项研究带到了最远 。
普吕克还发现了一种新的坐标系 ， 就是我们所说的齐次坐标 ， 费尔巴哈是它的发明者之一 。 另一个发明者是A.F.莫比乌斯 ， 他是这样提出了自己的“重心坐标”：考虑一个给定的三角形ABC ， 定义点P的坐标 ， 使得当你把一个质点放在A、B和C上时 ， P是这些质点的重心 。 莫比乌斯对变换进行了分类 ， 所依据的是全等、相似、仿射（对应图形保持平行线）和直射 ， 并暗示了在每一个变换族下不变性的研究 。 然而 ， 莫比乌斯之所以被人们记住 ， 是因为“莫比乌斯带” 。
齐次坐标是在几何算术化的方向上跨出的一大步 ， 但在1829年 ， 普吕克提出了一个革命性的观点 ， 与笛卡尔把坐标视为线段的古老观点彻底决裂 。 齐次坐标系中一条直线的方程具有这样的形式：
三个参数系数（a ， b ， c）决定了平面上的唯一一条直线 ， 正如齐次坐标（x ， y ， t）对应于平面上的唯一一点一样 。 由于这些坐标是数 ， 因此跟系数并无不同 ， 普吕克认识到 ， 可以修改通常的语言 ， 把齐次坐标（a ， b ， c）称作一条直线 。 最后 ， 如果把笛卡尔的惯例颠倒过来 ， 用字母表中开头的字母代表变量 ， 用末尾的字母代表常量 ， 则方程ax+by+ct=0就代表了一束通过固定点（x ， y ， t）的直线 ， 而不是固定直线（a ， b ， c）上的一束点 。 现在 ， 如果你考虑意义不明确的方程pu+qv+rw=0 ， 则有一点很清楚：你可以毫不在乎地把这个方程视为固定直线（p ， q ， r）上的点（u ， v ， w）的总和 ， 或者视为通过固定点（u ， v ， w）的直线（p ， q ， r）的总和 。
普吕克发现了几何学对偶原理的分析学等价物；现在 ， 有一点已经很清楚：纯几何曾经徒然寻找的理由在这里已由代数学的观点提供 。 “点”和“直线”这两个词的互换 ， 只不过相当于关于量p、q、r和u、v、w的“常量”和“变量”这两个词的互换而已 。 从代数位置的对称性来看 ， 很显然 ， 关于pu+qv+rw=0的每一个定理都直接以两种形式出现 ， 互为对偶 。
此外 ， 普吕克还证明了 ， 每一条曲线（不同于直线）都可以被视为有双重来源：它是一条由一个移动的点所产生的轨迹并被一条移动的直线所包围 ， 该点不断沿着该直线移动 ， 同时该直线继续围绕该点旋转 。 说来也怪 ， 在点坐标中一条曲线的次数（曲线的“阶”）未必跟线坐标中曲线的次数（曲线的“类”）一样 ， 而且 ， 普吕克的伟大成就之一是4个用他的名字命名的方程的发现 ， 把曲线的类和阶与曲线的奇点联系起来了：
式中m是类 ， n是阶 ， δ是节点数 ， κ是歧点数 ， ι是平稳切线（拐点）数 ， τ是双切线数 。 从这些方程一眼就可以看出：一条圆锥曲线（或二阶曲线）可以没有奇点 ， 因此必定也是二类曲线 。
在1831年 ， 普吕克把对偶原理扩展到了三维 ， 在三维空间里 ， 一个平面的齐次坐标（a ， b ， c ， d）与一个点的齐次坐标（x ， y ， z ， t）之间的关系表明 ， 三维空间里一个定理的对偶定理是通过“点”和“平面”这两个词的互换而得到的 ， “直线”这个词保持不变 。 在后来的论文和专著中 ， 普吕克把他的工作扩展到包括笛卡尔虚坐标系和齐次虚坐标系 。 现在 ， 证明蓬斯莱定理（所有圆都相交于无穷远处的两个虚点）就是小事一桩了 ， 因为 ， 点（1 ， i ， 0）和（i ， 1 ， 0）都满足方程
不管a、b、c取什么值 。 普吕克还证明 ， 圆锥曲线的焦点有这样一个属性：从这些焦点到曲线的虚切线通过上述圆的交点；因此 ， 他把高次平面曲线的焦点定义为一个有这一属性的点 。
在笛卡尔和费马的时代 ， 以及在蒙日和拉格朗日的时代 ， 法国都是解析几何发展的中心 ， 但因为普吕克的工作 ， 这一领域的领袖地位便跨过了莱茵河 ， 转移到了德国 。 然而 ， 普吕克在很大程度上是一个在本国没有获得什么荣誉的先知 。 在德国 ， 综合方法的捍卫者施泰纳受到了过度的赞美 。 莫比乌斯在解析—综合论战中一直保持中立 ， 但雅可比 ， 尽管本人是一个运算法则的构建者 ， 却加入了施泰纳的阵营 ， 反对普吕克 。 灰心丧气的普吕克在1847年从几何学转向了物理学 ， 在这一领域 ， 他发表了一连串论述磁学和光谱学的论文 。
