我们惊讶地注意到 ， 普吕克并没有利用行列式的发展 ， 这大概是因为他与雅可比之间的长期不和；这或许就是他为什么没有系统地发展三维以上解析几何的原因 。 普吕克通过他在1846年的观察接近了这个观念：决定三维空间中一条直线的4个参数可以被认为是4个坐标；但只是多年之后 ， 也就是在1865年 ， 他才回到了解析几何 ， 并发展出了“新的空间几何”的观念———即四维空间 ， 其中基本元素是直线 ， 而不是点 。 与此同时 ， 柯西在1843年开创了n维空间的普通解析几何 ， 使用行列式作为基本工具 。 在这种符号表示法中 ， 使用齐次坐标 ， 直线和平面的方程分别可以写作
凯莱曾指出 ， n维空间中对应的（n-1）维基本元素可以通过一个n+1阶行列式用齐次坐标来表示 ， 类似于上面的两个行列式 。 很多二维和三维的简单公式 ， 如果得到恰当的表示的话 ， 都很容易一般化至n维 。
黎曼几何
几十年来 ， 非欧几何一直是数学的一个边缘方面 ， 直到它通过波恩哈德·黎曼非常一般化的观点彻底整合起来 。 黎曼以一篇论述有一个复变量的函数理论的论文获得了博士学位 。 正是在这一领域 ， 我们有了所谓的柯西—黎曼方程：
有一个复变量z=x+iy的解析函数w=f（z）=u+iv必定满足这两个方程 ， 虽说这个必要条件甚至早在欧拉和达朗贝尔的年代就已经被人所知 。 这篇博士论文还导致了黎曼曲面的概念 ， 预示了拓扑在分析学中最终要扮演的角色 。
1854年 ， 黎曼成了哥廷根大学的编外讲师（没有薪水） ， 按照老规矩 ， 要求他在全体教师面前宣讲一篇授课资格论文 ， 结果是数学史上最著名的一次试讲 ， 因为它呈现了一次对整个几何学领域深刻而闳阔的概览 。 这篇论文的标题是《论奠定几何学基础的假设》 ， 但它并没有拿出一个明确的实例 。 相反 ， 它极力主张一种几何学的全局观 ， 作为任何种类的空间里任意维度的流形研究 。 他的几何学跟罗巴切夫斯基的几何学比起来 ， 是更加一般意义上的非欧几何 ， 在前者那里 ， 问题仅仅是有多少条可能的平行线通过一点 。 黎曼认识到 ， 几何学甚至大可不必处理平常意义上的点、直线或平面 ， 而是要处理依据某些规则组合而成的一组组有序的n元组 。
黎曼认识到 ， 在任何几何学中 ， 最重要的法则 ， 是求出无穷靠近的两个点之间的距离的法则 。 普通的欧氏几何中 ， 这个“度量”被：
给出；但有无数多的其他公式可以用作距离公式 ， 而使用的度量当然会决定空间或几何的属性 。 一个空间 ， 如果度量是下面的形式：
式中g是常量 ， 或者更一般的情况下 ， 是x、y和z的函数 ， 则这个空间就被称作黎曼空间 。
因此（局部说来） ， 欧氏空间只不过是黎曼空间的一个非常特殊的特例 ， 在欧氏空间里 ，
而其他的g全都等于零 。 黎曼甚至得出了一个公式 ， 用来求他的“空间”里一个“曲面”的高斯曲率 。 在黎曼的讲课之后 ， 高斯几乎是平生头一遭对别人的工作表现出热心 。
我们今天是在一个更加有限的意义上使用黎曼几何这个术语：它是一种从萨凯里的钝角假设推导出来的平面几何（如果抛开直线的无穷性） 。 这种几何的一个模型 ， 可以从下面这样的解释中找到：它把“平面”解释为一个球体的表面 ， 把“直线”解释为球体上的一个大圆 。 在这种情况下 ， 一个三角形的各角之和大于两个直角 。 正是黎曼提出弯曲度量空间的一般研究 ， 而不是相当于球面几何的特例 ， 最终使得广义相对论成为可能 。 黎曼本人在很多方面对理论物理做出过重大贡献 ， 因此 ， 1859年 ， 他被任命为狄利克雷的继任者 ， 执掌哥廷根大学那个高斯曾充任过的教席 ， 是再合适不过的 。
黎曼在证明三角形各角之和大于两个直角的非欧几何是在球面上实现的过程中 ， 本质上证明了几何学赖以产生的那些公理的一致性
高维空间
黎曼所实现的几何学的统一在不同几何的微观方面（“局部”几何）尤其重要 。 解析几何（“全局”几何）没有什么大的改变 。 1868年 ， 普吕克发表了一篇论文 ， 论述“新的空间几何” 。 他在这篇论文中 ， 明确地阐述了他大约在20年前暗示过的一个原理 。 他认为 ， 大可不必把一个空间想象为点的总和；同样可以把它想象为由直线组成的 。 事实上 ， 任何一个从前被想象为点的轨迹或总和的图形 ， 本身都可以被当作一个空间的构成元素来对待 ， 空间的维度相当于决定这个元素的参数的数量 。 如果我们把平常的三维空间看作是一个“由无限细、无限长的稻草所堆成的宇宙稻草堆” ， 而不是一个“由无限细小的铅弹所构成的凝聚块” ， 它就是四维空间 ， 而不是三维空间 。 凯莱从分析学上发展出了这样一个观念：普通的二维平面可以被视为一个五维空间 ， 它的构成元素是圆锥曲线 。
